Die trigonometrischen Funktionen (Vorkurs Mathematik)
Weitz / HAW Hamburg
https://www.youtube.com/watch?v=4v61vGiwj90

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 rego metrische funktion wer von ihnen will medientechnik machen sinus und cosinus werden in ihrem studium so ziemlich die wichtigsten
0:06 mathematischen funktionen werden und das liegt daran dass sinus und cosinus nicht nur was über das seitenverhältnis in dreiecken aussagen sondern das wurde
0:15 vorher schon mal kurz erwähnt auch etwas über schwinden immer wenn es um schwingungen geht kommen sinus und cosinus vor und alles
0:21 was mit akustik zu tun hat hat mit schwingungen zu tun alles was mit licht zu tun hat hat mit schwingungen zu tun und auch wenn es zum beispiel darum
0:27 gehen bilder darzustellen kommen auch schwingungen vor zum beispiel in solchen sachen wie jpeg komprimierung und so weiter das heißt sie werden noch
0:36 getrickst werden mit solchen sachen wie fourier transformation und rund und auch in ihren elektrotechnik vorlesungen werden sinus und cosinus immer vorkommen
0:44 darum werden jetzt die soko sind es noch ein bisschen genauer anschauen das ist der bereich den man trigonometrie nennt das heißt übersetzt so was ähnliches wie
0:51 vermessen von dreiecken und für uns geht es hauptsächlich darum dass wir uns sinus cosinus tangens genauer ansehen und zwar möchte man gerne sinus und
1:01 cosinus für alle möglichen winkel definieren so da sagen wir mal für alle möglichen reellen zahlen so wie wir es bisher gemacht haben haben wir gesagt
1:09 wir haben ja so nickel alpha und der sinus ist ein seitenverhältnis was von dem winkel alpha abhängen weil das aber in einem rechtwinkligen dreieck passiert
1:17 kann alpha ja nur ein winkel zwischen null und 90 grad sein das heißt wenn wir bisher so was ich schreibe wie sinus alpha ergibt der
1:26 ausdruck nur sinn wenn alpha einen winkel zwischen null und 90° ist selbst 0 und 90 grad sind eigentlich sinnlos weil das ja dank ein dreieck mehr ist
1:33 dann hat man ein so genanntes entartet s3 die idee wie man das jetzt verallgemeinern kann die besteht aus zwei schritten der erste schritt ist
1:41 dass man sich ein anderes winkel maß überlegt und der zweite ist dass man mit einem kreis arbeitet wir fangen erst mal mit den winkel maß an
1:47 ich habe ihn ja schon gesagt dass dieses winkel maß von 360° eigentlich eher so eine art historischer zufall ist also das einmal um den kreis rum 360 grad ist
1:58 liegt halt daran wäre das zum ersten mal gemacht hatte dass die damals dieses zahlensystem hatten ist uns halt irgendwie erhalten geblieben und wir
2:05 schreiben uns vielleicht noch mal die wichtigsten kenngrößen auf wenn sie ein google haben der so ist dann haben sie 90 grad wenn sie entwickelt haben der so
2:12 ist und haben sie 180 grad und einmal ganz rum sind 360 grad jetzt konnte man das natürlich auch anders in essen ich mache mal so kleine
2:20 tabelle man könnte zum beispiel sagen einmal ganz oben wenn ich einfach 1 das heißt statt 360 grad so habe ich einst das
2:29 nennt man voll winkelmann so misst also hier ist das messen in grad und hier ist das messen in voll winkel denn wäre 180 grad ein halb mal rum dass
2:38 wir bei so ein halber voll winkel und 90° wäre ein vierteljahr um den kreis es wäre ein viertel voll winkel und ich schreib doch mal so zwei drei andere
2:47 typische winkel hin die man auch immer so braucht 60 grad wäre ein sechstel um den kreis rum 45 grad ist eine nacht um den kreis rum und 30 grad ist ein
2:57 zwölftel von 360 grad tatsächlich ist es in manchen mathematischen zusammenhängen ganz praktisch mit diesem volk winkeln zu
3:03 rechnen es gibt aber noch ein schöneres winkel maß das natürlicher ist das ist so eine sache wenn sie dann zum ersten mal
3:10 begegnen dann fällt das für sie wahrscheinlich auch in die kategorie haben sich die mathematiker ausgedacht um schüler zu ärgern aber das ist nicht
3:16 so sondern das ist tatsächlich das maß mit dem sich das am natürlichsten und am besten beraten lässt und das ist auch wichtig nicht nur für die medien
3:24 techniker sondern auch für die informatiker weil das das mittelmaß ist mit dem alle programmiersprachen rechnen programmiersprachen kennen eigentlich
3:31 normalerweise geraten nicht sondern die rechnen in einem winkel mast dass man radiant nennen und dieses winkel materialien funktioniert folgendermaßen
3:39 sie stellen sich ein kreis vor mit dem radius 1 das nennt man einen einheitspreis und irgendwann haben sie in der schule mal gelernt wie lang der
3:49 weg um den kreis rum ist wenn sie also losgehen und hier einmal rum gehen da gibt es eine formel für den umfang des kreises weißt du noch jemand die formel
3:57 ist zwei mal pi mal radios und weil der radio ist hier ja eins ist ist in diesem fall der weg im morgenkreis punkt 2 wenn sie also eine ameise sind und sie
4:07 haben einen entfernungsmesser und sie gehen einmal in diesen kreis rum dann haben sie die strecke 2p zurückgelegt das liegt daran dass man gerade so
4:13 definiert hat weil das verhältnis von umfang zu durchmesser in allen kreisen gleiches hat man dieses verhältnis spiegelt das ist diese komische zahl
4:21 über die wir vorgestern glaube ich gesprochen hat und jetzt ist es natürlich logisch wenn ich zum beispiel nur halb um den kreis rum gehe dann ist
4:29 die strecke zurücklegen nicht 24 sondern p wenn ich zum beispiel nur ein viertel der strecke zurücklegen dann ist die
4:35 strecke die ich zurücklegen nicht 24 sondern nur pi halte und so weiter das ist ja einfach ein ganz normales drei satzverhältnis aber diese strecke die
4:42 ich auf dem kreisrand zurücklege entspricht natürlich immer dem winkel und den macht er sich drehen müsste der mich beobachtet also ich als ameise gehe
4:51 hier lang und lege die strecke die halbe zurück ein viertel des kreis umfangs das entspricht ein beobachter der von hier aus meinen weg verfolgt der muss sich um
5:02 ein viertel des gesamten kreises drehen 90 grad und wenn ich als ameise halb um den kreis rum gehe also bis hier
5:12 dann habe ich eine strecke von insgesamt zurückgelegt und der beobachter der mich die ganze zeit verfolgt hat hat sich dabei insgesamt um 180 grad gedreht und
5:21 so weiter das heißt man ist die winkel anhand des weges den eine ameise auf dem einheitspreis zurücklegen würde das ist aber überhaupt keine zauberei
5:31 das ist nichts weiter als 3sat also einmal ganz rum ist 2p halb rum ist die hälfte davon ist pi viertel rum ist die hälfte davon die halbe und so weiter sie
5:43 müssen sich eigentlich nur merken irgendeine kenngröße also das heißt sie nehmen sich eine zeile aus dieser tabelle raus zum beispiel finde ich am
5:53 besten kann man sich diese ihr merken die entspricht 180 grad und wenn sie jetzt mehr oder weniger haben wollen dann müssen sie halt einfach dreisatz
6:00 rechnet also zum beispiel sie wissen dass die 180 grad ist und sie brauchen 60 grad dann müssen sie im kopf und 60 grad ist ein drittel von 180 grad also
6:09 brauche ich pi drittel ganz einfach das nicht schlimm ist und ich sage nochmal das ist die maßeinheit in der sinus cosinus tanz in programmiersprachen
6:18 normalerweise funktionieren und das ist auch die winkel einheiten mit der diese schwingungs funktion berechnet denn jetzt kommt der zweite punkt wir
6:27 hatten ja öffentlich damit angefangen dass wir gesagt haben wir wollen diese winkel hier erweitern auf bereiche in denen nicht nur 0 bis 90 grad möglich
6:35 sind dafür machen wir folgende skizze man nimmt sich wieder den einheitspreis das soll kreis sein wollen wir uns hier mal ein koordinatensystem rein also die
6:46 länge hier der radius soll immer eins sein das heißt jetzt war der einheitspreis jetzt gucken wir uns in diesen kreis rechtwinkligen dreieck an
6:55 das heißt wir ferien hier das los und wir gucken uns diese beiden strecken an das ist ein rechtliches dreieck und dazu gehörten winkel
7:06 wer hier den nenne ich einfach jetzt wollen wir mal zusammen ausrechnen wie lang diese beiden farbig gemeinden kadetten sind die rote und die blaue wie
7:17 lang ist diese karte und wie lang ist diese karte das ist im prinzip das was wir eben schon mal gemacht haben wird jetzt sogar
7:24 nur einfacher können sie mir ein bisschen helfen wie lange ist die rote seite oder wie müsste ich das ausrechnen das macht man mit hilfe des silos sinus
7:32 von alpha ist gegen katheter durch hypothese das coole in diesem fall ist das die prognose 1 ist also gegen katheter durch 1 das heißt sinus von
7:42 alpha ist die gegen katheter das heißt im anhalts kreis ist die länge von dieser roten linie sinus von alpha ohne nachwirken faktor und aus dem gleichen
7:51 grund haben sie bei der blauen linie cosinus ist an katheter durch hypnose also wieder an pakete durch 1 das heißt die länge dieser blauen linie ist
8:00 cosinus von alpha und jetzt stellen sie sich vor dass sie diesen punkt hier hin und her bewegen und dann werden natürlich die linien kürzer oder länger
8:09 wenn ich jetzt zum beispiel in diese richtung gehen wird die blaue linie kürzer werden dafür wird die rote linie länger werden
8:15 solange ich mich nur in diesem viertel lehre findet bekomme ich das gleiche raus was ich vorher schon hatte an werten
8:21 aber ich kann jetzt ja weitermachen ich kann ja an dieser stelle weiter drehen und dann krieg ich zum beispiel hier auch so ein dreieck und dazu gehören ja
8:27 diese beiden seiten auch wieder das heißt ich kann jetzt auch an dieser stelle messen wie lange dieses ding ist und ich kann an dieser stelle auch
8:35 messen wie lange dieses ist also ich messe immer den abstand von der x-achse und das nenne ich einfach sinus und ich messe den abstand von der
8:44 y-achse das blaue und das nenne ich einfach cosinus weil ich hier zum beispiel an dieser stelle jetzt auf der linken seite der y-achse bin würde ich
8:51 sagen das hier ist ein negativer wert und hier finde ich oberhalb der x-achse dann würde ich sagen das rote ist noch ein positiver wert aber nicht noch
8:58 weiter gebe es hier unten dann komme ich bei den roten auch in negativen werte das würde jetzt hier diesen winkel entsprechen
9:05 denn natürlich mehr als 90 grad ist das ist die definition von der sinus und cosinus funktion sozusagen die natürliche fortsetzung von dem was wir
9:14 im dreieck hatten ich stelle mir die einfach auf dem kreis fahren kann immer weiter drehen solange ich von null bis php gehe habe
9:23 ich die werte die ich auch beim ganz normalen dreieck bekommen würde wenn nicht weiter drehe dann kriege ich eine andere werte und ich kann sogar mehr als
9:30 einmal umdrehen wenn ich von hier bist hier drehen 0 bis p halbe hier drehe ich weiter psp ihr drehe ich weiter ps3 hvpi viel drehe ich weiter 3 op bis zwei
9:41 pielmeier einfach weiter noch mehr als 2 p nochmal ganz zum 4p nochmal ganz rum 6 p und das kann ich beliebig lange
9:49 weitermachen und ich kann sogar in die andere richtung nämlich lange weitermachen hier bin ich bei den winkel 0
9:54 was hindert mich daran rückwärts zu drehen diesen winkel hier nenne ich dann - die halbe und so umgedreht wenn ich bei - pi und so weiter und ich kriege
10:03 immer werte die sich natürlich zuzüglich wiederholen werden wenn ich einmal rum bin passiert das gleiche was zu mal passiert ist was nennt man periodisch
10:11 wir gucken uns das war einer meiner animation an aber ich hoffe die grundidee ist erstmal schon klar geworden
10:17 eine sache die man dabei eigentlich immer im kopf behalten sollte immer wenn es in der mathematik umdrehen geht und nichts weiter extra gesagt wird wird
10:25 immer gegen den uhrzeigersinn gedreht also der mathematisch positive dresen ist gegen den uhrzeigersinn ich hab ich das bild noch mal aufgemalt
10:33 im prinzip das was wir eben gesehen haben in kleinen damit alles drauf passt diese orange seite hier das ist die die wir
10:40 cosinus genannt haben die gibt uns den cosinus wert diese blaue seite hier ist die diversen los genannt haben das ist der sinus wert die schwarze
10:48 seite ist die hypothese des rechtlichen dreiecks die immer die länge 1 hat weil das ja einen kreis mit dem radius 1 sein soll
10:54 das grüne hier ist der winkel um den es gerade geht und weil wir dieses coole winkel maß radiant nehmen ist das das gleiche wie die länge von diesem stück
11:05 hier oben darum ist das auch grün wenn sie das jetzt in einem koordinatensystem auftragen und betrachten das als funktionen dann können sie sagen als
11:12 input bekomme ich den winkel das ist x iks wert in grün und als output bekomme ich zum beispiel man sinus wert das ist der blaue wert hier auf der y achse und
11:23 das ganze noch mal da müssen sie sich jetzt so hinstellen um das zu sehen für cosinus da haben sie den gleichen input ist ja der gleiche winkel und da
11:29 bekommen sie als output die länge von diesem ding hier und jetzt passiert das ist das sage ich jetzt noch mal animiert was ich eben versucht habe ihnen auf
11:37 zumal jetzt bewegen sie diesen grünen winkel und ich sage ihnen das zweimal damit sie nicht alles auf einmal das können sie ja gar nicht sich angucken
11:43 müssen konzentrieren sie sich zum beispiel erst mal nur auf den sinus oben ich lasse jetzt den winkel sich ein bisschen bewegen und sie gucken mal so
11:50 ein bisschen hin und her was im kreis passiert und was mit dem sinus passiert ignorieren sie das hier unten wir gucken uns das zweimal an
12:03 so kommt die sinus funktion zustände und jetzt das ganze nochmal jetzt gucken sie vielleicht mal hier unten hin ist das gleiche bild gleiche drehung
12:14 so kommt die kurse bis funktion zustande die haben sie alle in der schule schon mal gesehen aber gibt es ist vielleicht noch mal klar geworden wo das herkommt
12:21 und wie sie hoffentlich sich denken können wenn sie jetzt immer weiter machen dann sind sie einmal ganz rum dann wiederholt sich alles wenn ich
12:27 jetzt hier bin dann kommt das gleiche wieder und rückwärts natürlich auch das nennt man periodisch und ich habe hier auch schon
12:33 die werte in radiant aufgetragen also hier ist pi das sind 180 grad hier ist 2p das sind 360 grad das ist einmal umkreist und hier entsprechend
12:43 auch p2p und sie sehen schon dass das irgendwie was mit schwingungen zu tun hat wellenförmige bewegungen und dass das was mit kreisen zu tun hat das sind
12:53 sinus und cosinus sinus hier in orange & co sind blau und diese kurven sollten sie schon ungefähr qualitativ im kopf haben wie die so laufen und so ein paar
13:06 sachen über die wissen wann kann ziemlich viel über diese funktionen sagen wenn sie sich zum beispiel mal die wikipedia-seite dazu anschauen werden
13:13 sie ganz ganz viele dinge sehen aber zumindest sollte man so grob im kopf haben dass die sich wiederholen dass das verschwörungs kurven sind von wo bis wo
13:21 die gehen und so weiter und man sollte auch im kopf haben dass es halt ganz viel darüber zu wissen gibt und man das eventuell nachschlagen kann ganz viele
13:28 zusammenhänge ich werde ihnen exemplarisch so ein paar sagen nur mal damit sie sehen was uns da alles darüber zu wissen gibt das ist
13:34 weit weniger dass man sagen könnte und wie gesagt das ist nichts zum auswendiglernen aber zumindest muss man bei manchen dingen einfach wissen das
13:43 gibt es und das könnte beim nachschlagen was man braucht also eine sache wiederhole ich noch einmal die hängt damit zusammen dass wir das durch diese
13:49 kreis drehung uns angeschaut haben dass das periodisch ist damit meint man in der mathematik eine funktion die sich in bestimmten abständen immer wieder
13:57 wiederholt bei denen trigonometrische funktionen bei diesen beiden ist die periode 2 p also ich habe das jetzt hier so aufgeteilt dass der abstand zwischen
14:05 zwei solchen streifen im api halbe ist das heißt nach 4 von solchen streifen wiederholt sich das ganze gilt für beide co und was man auch sieht was ja auch
14:14 von der herleitung her klar ist dass da nur werte zwischen 1 und minus eins raus kommen können weil das ja aber das verhältnis der seiten zueinander ist und
14:22 wenn sie sich noch mal das dreieck in erinnerung rufen kann da nicht auf einmal 27 oder so was raus kommen und was er hier auch sehen sieht man an der
14:29 kurve hin passt ganz schön und das kann man sich auch wieder wird dieser kreis triumph klar machen dass die kurven sehr ähnlich sind ein techniker würde sagen
14:37 wir sind einfach nur phasen verschoben eigentlich ist das zweimal die gleiche probe die nur so ein buch stück verschoben ist und ein paar von den
14:42 sachen die ich jetzt gesagt habe ich noch mal aufschreiben also einmal dass die beide zwei perioden sind das heißt dann zum beispiel dass sie so was haben
14:53 wie der cosinus von irgendeinem winkel einfach +2 pi ist das gleiche wie der kursus von alpha und das ist das gleiche wieder cosinus von alfa - 2 p und das
15:04 ist das gleiche wieder kostenlos von alfa + 10 p i und das ist das gleiche wieder kursminus von alfa - 100 p und so weiter also immer wenn sie vielfach von
15:11 2 p dazu addieren ändert sich nichts das hat dann auch ganz praktische konsequenzen wenn sie dann zum beispiel mit computergrafik arbeiten auch wenn
15:18 sie ihren grad denken wenn sie so was haben wie cosinus von 320 grad das sind ja 40 grad weniger als einmal um den kreis rum 2 ps 360 grad dann ist das das
15:32 gleiche wie der cosinus von minus 40 grad können sie sich auch immer so bildlich vorstellen das wäre in winkel der ganz grob so aussieht und die eine
15:42 möglichkeit den zu messen ist dass sie so rum gehen das heißt sie gehen im uhrzeigersinn also mathematisch negativ dann müssen sie - da vorstellen weil sie
15:51 negativ messen dann haben sie minus 40 grad und die andere möglichkeit ist dass ich in winkel richtig mathematisch positiv
15:58 messen im uhrzeigersinn dann messen sie so rum dann haben sie 320 grad aber wenn sie wollen können sie auch noch mal rum gehen sie geht einmal rum
16:06 320 platin gehen sie noch mal rum dann müssen sie auf 360 grad dazu zählen das würde dann so aussehen dass sie das so messen und dann haben sie 608
16:17 in dem sich verrechnet habe und sie sehen es gibt unendlich viele möglichkeiten das zu machen und natürlich ich habe ja oben drüber
16:24 geschrieben sinus und cosinus das gilt auch für den sinus will ich jetzt nicht noch mal so ausführlich hinschreiben aber sie können halt auch immer um zwei
16:31 pi verschieben dann in eine weitere sache die ich eben gesagt habe ist dass die immer zwischen eins und minus 1 liegen die werte also der cosinus von
16:40 alpha liegt immer im intervall von -1 bis 1 egal was für ein alfa sie einsetzen das gilt auch für den sinus von alpha und das können sie auch anders
16:50 formulieren sie können sagen der betrag vom cosinus von alpha ist immer kleiner gleich eins und das gilt auch wieder für den sinus verkäufer er hätte ich ihnen
16:58 gesagt eben dass die phasen verschoben sind das die beiden kurven sich eigentlich nur dadurch unterscheiden dass man sie um 90 grad hin und her
17:05 schiebt was sie sich an unserem dreiecks bild vorstellen können das können sie zum beispiel so formulieren dass sie sagen der cosinus
17:12 von iks hat die halbe vorsprung auf den sinus das ist also dasselbe wie sinus von xp halbe oder falls sie sich das besser merken können wie der sinus von
17:24 ex plus 90 grad das ist auch eine sache da haben wir gestern darüber gesprochen die so ein bisschen bei ihnen in fleisch und blut
17:30 übergehen sollte dieses hin und her springen zwischen radiant einerseits und grad andererseits also dies hier nochmal zur erinnerung nennt man bogen maß weil
17:39 sie mit beiden konfrontiert sein werden wir können uns alle dann doch immer irgendwie besser grad zahlen vorstellen weil man damit öfter zu tun hat es geht
17:47 mir so obwohl ich schon seit über 30 jahren mathematiker bin aber für das programmieren und auch für die mathematischen anwendungen braucht man
17:55 halt bogen macht ja vielleicht noch zwei sachen ich zeigt nochmal die grafik schauen sie sich mal nur den cosinus an die blaue kurve man kann an der kurve
18:04 sehen und das kann man sich auch wieder mit dem drehenden zeiger klar machen dass der po sie an der y-achse gespiegelt ist wie nannte man solche
18:13 funktionen noch mal die an der y-achse bespiegelt sind sie haben wir gerade funktionen genannt weil sie sich so verhalten wie die mono mit geraden
18:22 potenzen wx quadrat zu 4 also der kursus ist gerade das heißt statt cosinus von -6 dürfen sie immer einfach cosinus von iks schreiben oder
18:33 das auch beiden seiten gleich ist und der sinus ist sowas wie diese funktion x3 x5 und so weiter der ist punkt gespiegelt am ursprung also zb dieser
18:42 punkt entspricht diesen punkt hier und so weiter das waren die ungeraden funktion also der sinus ist ungerade das bedeutet sinus von - iks dürfen sie
18:54 ersetzen durch - sino sixx auch egal welchen winkel wieder einsetzen also das sind eine reihe von ganz wichtigen sachen und ich habe schon gesagt die
19:04 können sie sich nicht alle merken aber sie können sie nachschauen aber einige als wichtige muss ich das noch mal sagen wie werde ich jetzt hier nicht herleiten
19:12 weil das nicht so wahnsinnig aufwendig ist aber das würde schon zeit kosten das wird ihnen wahrscheinlich in der vorlesung noch mal vorgeführt werden
19:19 ein typischer fehler ist der folgende das ist auch so ein bisschen wunschdenken konnte man auch recht wenn stream nennen
19:25 es wäre schön wenn das hier gelten würde was ist der sinus von alpha plus wetter was bekomme ich wenn ich zwei winkel addiere und wäre es nicht nett wenn man
19:33 einfach die beiden silos werte addieren müsste das stimmt aber leider nicht das dürfen sie nicht machen ein schlimmer fehler und fünf positiv
19:42 gilt das auch nicht dafür gibt es die sogenannten additional theoreme also wenn sie das mal nachschauen wollen schauen sie einfach unter addition
19:50 theoreme nach wenn sie sich die neben merken können die sind auch normalerweise für sinus und cosinus noch unterschiedlich was ja
19:56 irgendwie auch logisch ist für den silos ist das aktions theorem sie müssen den sinus von alpha ausrechnen malen nehmen mit dem kursus vom bäcker und dazu
20:05 müssen sie addieren den sinus von better mal den cosinus von alpha so wird das ausgerechnet und für den cosinus sie das ein bisschen anders aus beim posen ist
20:15 das so dass sie erst die beiden cosinus werte berechnen und die multiplizieren und dann davon abziehen das produkt der beiden sinus werte
20:23 ich könnte jetzt noch diverse andere sachen hinschreiben aber ich mache das jetzt mal anders ich schreibe ihnen mal ein paar dinge hin
20:29 und sie können sich ja vielleicht mal selbst zu hause überlegen was da stehen muss sie könnten es auch einfach nachdrucken
20:35 aber mit dem was ich ihnen hier hin geschrieben habe können sich das selbst eigentlich ziemlich leicht herleiten und zwar erstens was müsste sinus alfa -
20:43 blätter seien statt plus müsste sich eigentlich nur diese formel hier angucken und dann überlegen was wir oben über sinus von - besser gesagt haben
20:51 oder von renault six die gleiche aufgabe für casinos alfa - blätter wie müsste das aussehen und dann können sie sich zum beispiel auch mal überlegen was
20:59 müsste denn sagen wir mal cosinus von zwei alpha sein das ist ja cosinus von alfa + alpha das können sie jetzt auch wieder in diesem
21:08 vormittag um einsetzen aber eine ganz wichtige sachen muss ich noch sagen dann höre ich auch offen und diesen beziehungen von sinus cosinus und so
21:14 weiter dafür warte ich noch einmal unser bild hin von gestern dieses bild war ja so entstanden wir
21:20 haben den einheitspreis gemalt diese strecke hier weil das der einheitspreis ist der radius des einheitspreises hat die länge 1 das ist die hypothese
21:29 das ist deswegen so praktisch weil dann die länge dieser strecke einfach der cosi muss ist von alpha und die länge dieser strecke einfach der sinus von
21:39 alpha ist und das ganze beruht darauf dass sieht man glaube ich und es gibt so dass das hier ein rechtliches dreieck ist und jetzt sind singen wir uns an den
21:48 guten alten pythagoras der uns sagt die summe der kadetten quadrate ist dass die prognosen körper hat das heißt blaue sagt zum zwei grad plus rote seit es im
21:57 quadrat ist einst zum quadrat aber eins und vertrat ist ja eins das heißt egal welchem winkel sie nehmen es gilt immer das quadrat vom cosinus hatte ich ihnen
22:07 ja gesagt schreibt man so plus das quadrat vom silos wenn das bei dass derselbe winkel ist ist immer 1 egal welche winkel wieder einsetzen
22:15 das ist eine andere art und weise den satz des pythagoras zu formulieren ok also dass so ein paar grundlegende eigenschaften für sinus und cosinus und
22:25 welche funktion haben noch gar nicht gehabt den tangens wir hatten den tanz jahr eingeführt und haben gesagt das ist gegen katheter durch uncut und man kann
22:32 den tages auch schreiben als sinus durch cosinus kurven noch mal an also der orange wert wird immer durch den blauen wert geteilt haben
22:42 natürlich ein problem weil der kurs hier ab und zu mal 0 wird das heißt an diesen stellen hier kann der tank jetzt gar nicht definiert sein bruder kursen bis 0
22:49 ist und in der nähe dieser stellen muss es so ein pool gegeben hat man schon mal angesehen wo das irgendwie gegen unendlich aus weil wir dann ja auch die
22:56 null zu gehen darum sieht der tanz ganz anders aus als diese beiden kurven wir sind nämlich so aus dass hier sind
23:03 immer die stellen wo der cosinus 0 ist wohl durch 0 teilen würde da ist der tanz dann immer nicht definiert und dazwischen habe ich dann immer das
23:11 gleiche der hat dann deswegen auch eine periode von pi und nicht von pi halbe das heißt ja wiederholt sich doppelt so oft also der tangens ist die periode das
23:22 heißt tangens von alpha plus pi ist der tangens von alpha und das ist natürlich auch eine konsequenz dieses durch 0 teilen der tanz liegt nicht immer
23:36 zwischen eins und minus 1 sehen sie ja sondern da kann beliebig große und beliebig kleine werte annehmen also die es hier geht gegen unendlich wenn man
23:43 den wert die halbe immer näher kommen und dies hier geht gegen - unendlich bei dem wert - die app immer näher kommen wir hatten gestern schon mal kurz
23:51 angesprochen die umkehr funktionen das ist auch eine sache die insbesondere wichtig ist wenn sie mit computergrafik arbeiten von diesen funktionen kann man
24:00 sich um fehlfunktionen konstruieren nachdem man vor ein bisschen vorarbeit geleistet hat die dann das gegenteil für uns machen von dem was die
24:09 trigonometrische funktionen machen also der sinus ist ja eine funktion wo sie einen winkel einsetzen und ein seitenverhältnis brauchst bekommen und
24:17 das gilt für die anderen beiden funktionen auch winkel einsetzen seitenverhältnis kommt raus sie sagen was ist der sinus von 30 grad und der
24:25 sagt ihnen eine zahl und diese zahl ist das verhältnis der gegen katheter zur apotheose auch wollen sie in der computergrafik das gegenteil haben sie
24:34 wissen schon die seitenverhältnisse sie wolle aber den winkel dazu haben das ist die umkehr funktion ich weiß wie lang die beiden seiten sind
24:40 ich kann ihren quotienten aus rechnet jetzt möchte ich wissen welchem winkel ich da unten diese umkehr funktionen nennt markus
24:47 funktionen akkus ist das wort für bogen weil die ihnen zu dem verhältnis den bogen zurück geben wenn man daran denkt dass der winkel in bogen maß gemessen
24:58 wird und wir wollen es mal überlegen wie meine die umkehr funktion zum sinus zum beispiel kriegen könnte das problem bei dem sinus und bei all den
25:06 trigonometrische funktionen ist dass die alle nicht in jeck tief sind weil die ja periodisch sind weil sich immer alles wiederholt kommen natürlich die werte
25:14 alle nicht nur zweimal sondern unendlich oft vor und wir hatten ja gesagt man kann die funktion eigentlich nur umkehren wenn sie in die aktiv ist was
25:22 haben wir da gemacht wie könnte man das retten ja also wir müssen uns irgendein stück heraus suchen nicht die ganze sinus funktion betrachten sondern nur
25:29 ein stück der sinus funktionen und das stück muss so klein sein dass auf diesem stück die funktion in die aktiv ist und andererseits sollte es wirklich groß
25:37 sein damit wir möglichst viel von der funktion erwischen das kann man auf verschiedene arten machen das was sie zum beispiel auf dem taschenrechner und
25:43 in programmiersprachen bekommen typischerweise sieht so aus die gucken sich nur diesen teil der sinus funktion an
25:49 wenn sie den teil sich anschauen sehen sie das tatsächlich jeder funktions werte nur einmal vorkommt und jetzt können sie die umkehr funktion bilden
25:55 das hatten wir uns ja grafisch überlegt das heißt einfach spiegeln an der haupt diagonalen und das sieht dann so aus sie bekommen also aus der orangen kurve
26:02 diese rote kurve und das nennt man dann den akkus - das ist das was ich vorhin sagte wo man dann das seitenverhältnis gefüttert und den winkel rausbekommt die
26:13 gegenteilige funktion und das ganze geht da auch für cosinus und tangens der cosinus sieht so aus da muss man auch irgendwie sich entscheiden welchen teil
26:20 nämlich so dass die funktionen aktiv ist da entscheidet man sich für diesen teil hier und wenn sie das jetzt an der haupt
26:28 diagonalen spiegeln dann kriegen sie das raus also so sieht der akkus cosinus aus und der tangens den kann man auch umkehren da sieht das wieder ganz anders
26:37 aus weil der tank uns ja auch ganz anders aussieht als die anderen beiden kurven dann nimmt man im allgemeinen diesen mittleren streifen da ist das
26:42 ding nie aktiv wenn sie den an der haupt diagonalen spiegeln kriegen sie den akkus tangens der so aussieht im gegensatz zu den anderen beiden akkus
26:50 funktionen ist der akku standards für jeden möglichen wert definiert da können sie einsetzen was immer sie wollen und kriegen vernünftiges ergebnis raus
26:57 da muss man ein bisschen was zu den schreibweisen sagen und mathematisch sehen die so aus sie schreiben markus sinnlos casinos markus tangens in
27:07 programmiersprachen werden die meistens abgekürzt casinos und an und auch taschenrechnern finden sie häufig eine etwas unglückliche bezeichnung da steht
27:20 dann sinus hoch - 1 rosinus hoch - 1 oder tanken suchen - 1 was nicht so schön ist mathematisch weil man das ja verwechseln könnte mit dieser konvention
27:32 hier und dann würde das ja bedeuten 1 geteilt durch sinus das ist nicht dasselbe wie die umkehr funktion also wenn sie das mal sehen muss man sich
27:38 klarmachen das ist eigentlich eine andere schreibweise für akkus sinus oder akkus - das was er hat und dann für die leute die das später in der
27:47 computergrafik brauchen sollte man vielleicht noch erwähnen da werden wir zumindest beim medias ist auch noch mal drauf eingehen es gibt in fast ein
27:55 programmiersprachen eine funktion die art an zwei heißt will ich jetzt nicht im detail darauf eingehen aber das hängt damit zusammen wenn sie von kt sischen
28:04 koordinaten und polar koordinaten umrechnen wollen wir sprechen gleich noch einmal über koordinaten dann braucht man eigentlich für das umrechnen
28:11 den akkus tangos und dann werden sie feststellen dass der akkus tangens alleine nicht reicht weil man da nicht zwischen rechts und links unterscheiden
28:18 können darum haben wie gesagt die meisten programmiersprachen eine funktion die ihnen diese arbeit abnimmt die erkennt
28:25 für sie was die richtigen pathetischen daten sind das ist so was was sowas ähnliches macht wieder akkus tangens aber sich besser für computergraphik
28:33 untersagt wird also immer mal wenn sie in der situation sind dass sie denken das müsste jetzt mit akku standards ausrechnen und dann fällt ihnen ein
28:39 das reicht ja noch gar nicht da muss ich ja noch eine feine unterscheidung rechts links machen dann sollten sie gucken ob ihre programmiersprachen sich in derart
28:45 an zwei funktionen hat die das für sich zu tun so jetzt habe ich diesmal nur eine aufgabe für sie dies aber so ein
28:50 bisschen umfangreicher dann müssen sie ein bisschen nachdenken ich habe hier wieder ein drei hektar sind ein paar sachen gegeben das dreieck
28:56 ist nicht rechtwinklig und da müssen sie jetzt mal dieses dreieck irgendwie clever in zwei recht wegen die dreiecke zerlegen damit sie das was
29:04 wir alles gelernt haben anwenden können also ich will einfach die längen der beiden anderen seiten wissen und sie überlegen sich wie kann man das
29:13 rauskriegen und da dürfen sie ausnahmsweise mal hilfsmittel benutzen weiß jeden taschenrechner auf ihrem smartphone haben oder taschenrechner
29:19 dabei nehmen sie den und wenn sie gar keinen taschenrechner haben oder nicht wissen wurde auf ihrem smartphone ist können sie auch einfach so dass die
29:26 google kalt eingeben da kann man auch rechnen online wie sollte eben noch mal eine sache sagen sie habe ich vergessen zu sagen aber wahrscheinlich wissen sie
29:34 das auch schon bald programm erfahren habe ja schon gesagt die rechnen eigentlich mal einen bogen maß wenn sie sich noch einen taschenrechner benutzen
29:39 die haben meistens verschiedene modi die taschenrechner haben meistens so tasten mit denen man den winkel modus ändern kann und sie haben zumindest diese
29:48 beiden tasten wenn sie sowas überhaupt haben deck und rat das deck steht für degree das heißt der taschenrechner soll in grad rechnen
29:56 und das hier steht für radiant das heißt der taschenrechner soll in bogen maß rechnen das gilt natürlich sowohl für die trigonometrische als auch für die
30:04 akkus funktionen manche taschenrechner haben noch einen dritten modus der unterschiedlichen namen bad manchmal gone oder sowas das ist so eine ganz
30:12 komische geschichte die ganz selten meiner technik verwendet wird dass das so genannte neu grad da hatten kreis 400 grad
30:19 aber das ist wahrscheinlich was mit dem sie nie was zu tun haben werden ich habe das noch nie gesehen glaubt landvermessung und so wird das manchmal
30:26 benutzt also wichtig sind die beiden tasten hier links ich zeige ihnen war meine lösung aber ich habe vorhin ja schon gesagt es gibt mehrere wege das zu
30:33 machen es gibt nicht den einen weg es gibt fast nie eine mathematische aufgabe ist nur einen weg gibt also das was ich gemacht habe ist ich habe hier eine
30:40 senkrechte sehr konstruiert und dann haben sie zwei rechtwinklige dreieck und in dem linken rechtlichen dingen dreieck kennen sie einen winkel eine seite und
30:48 können damit die andere seite hier unten ausrechnen dass es die an katheter an dem winkel 25 grad dh das ist eine hypothese mal der kursus von diesem
30:57 winkel das ist ungefähr 6 34 und sie können auch diese seite herausrechnen das ist die hülle von dem dreieck das können sie
31:05 jetzt mit pythagoras machen war sie m und 7 haben das hätten sie aber auch mit einer anderen winkel funktionen machen
31:10 wenn es auch egal es ist ganz gut bei solchen sachen immer zwischendurch einen kleinen reality check zu machen sie rechnen jetzt sagen wir mal im aus
31:18 und da kommt 300 raus das ist natürlich auf jeden fall quatsch weil diese seite ja 7 ist und die anderen beiden seiten müssen auf jeden fall kürzer sein man
31:25 kann das alles geht ja schon ungefähr erkennen also immer so ein bisschen gucken ist das was da rauskommt überhaupt sinnvoll kann das überhaupt
31:31 sein was da rauskommt so jetzt können sie sich der anderen seite zuwenden und können ausrechnen wie groß dieser winkel ist der ist 33 grad weil die drei
31:41 zusammen jahr 180 grad ergeben müssen und dann können sie auf der anderen seite die selbe rechnung machen da habe ich jetzt das zum beispiel mit dem
31:47 tangens gemacht weil wir die beiden seiten kennen da kommt dann für die seite n also für dieses stück hier 456 raus bei mir und
31:55 dann können sie aber auch noch berechnen das hab ich jetzt mit dem cosinus gemacht dann haben sie eine von den seiten schon mal raus wir berechnen
32:00 sollten und schließlich wenn sie die beiden unten addieren haben sie auch die lange seite raus und die werte sollten auf
32:07 zwei stellen nach dem komma gerundet richtig sein