Skalarprodukt berechnen – Vektorrechnung
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=41oLakIfgH0

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch an diesen vier Beispielen zeigen, wie man das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kann. Lass uns mal mit dem
0:08 ersten Beispiel starten. Bilde das Skalarprodukt der beiden Vektoren A und B. Wir sollen jetzt also diese beiden Vektoren miteinander multiplizieren.
0:19 Also, wir nehmen uns den ersten Vektor A und multiplizieren den mit dem zweiten Vektor B. Und die Regel ist immer dieselbe.
0:29 Man startet mit den ersten beiden Koordinaten und multipliziert die miteinander. Ganz normal, wie man es kennt. 2* 3. Das schreibe ich erstmal
0:39 hier so hin. Dann ist es ganz wichtig, da kommt jetzt immer ein Plus dazwischen und dann macht man dasselbe mit den zweiten Koordinaten. 4*
0:50 2 ist der nächste Teil. Dann immer ein Plus dazwischen und dann dasselbe mit den letzten Koordinaten. Auch die werden miteinander multipliziert, also 1 mal 5
1:02 gerechnet. Und das Ding müssen wir jetzt nur noch ausrechnen. Was kommt da raus? 2 x 3 sind 6 + 4 x 2 sind 8. Hinzuommt noch 1* 5, also 5. Und wenn man das
1:14 zusammenrechnet, 6 + 8 sind 14 + 5 sind 19. Und das ist das Ergebnis von dem Skalarprodukt. Und was fällt dabei auf? Wir haben mit
1:26 Vektoren begonnen, aber das Ergebnis von diesem Produkt ist einfach nur eine Zahl. Da kommt nicht noch mal ein Vektor raus hier am Schluss, sondern nur eine
1:37 einzige Zahl. Aber das ist korrekt. So heißt ja auch Skalarprodukt. Also Skalar steht für diese Zahl hier. Okay? Und egal, wie eure Vektoren aussehen, das
1:48 Prinzip ist immer dasselbe. Wenn ihr das Skalarprodukt bilden sollt, dieses Mal heißen unsere beiden Vektoren C und D. Also, wir wollen C multiplizieren mit D.
2:00 Und man geht genauso vor, egal wie schlimm die Zahlen hier drin aussehen. Jetzt haben wir hier einige negative Zahlen drin. Das Prinzip ist dasselbe.
2:09 Man kann sich nur schneller verrechnen. Also wir haben, wir multiplizieren -1* 3. Ich schreib es erstmal auf, also -1* 3. Immer ein Plus dazwischen. Die
2:21 zweiten Koordinaten werden miteinander multipliziert. 0 x -7. Schöne Klammer hier um die negative Zahl plus immer und dann die dritten
2:31 Koordinaten. Dieses Mal eben -2* -4 und dann nur noch ausrechnen. -1* 3 sind -3. 0 mal irgendwas ist immer das Schönste.
2:45 Es fliegt komplett raus. Und hier hinten kommen dann hinzu -2* -4 sind + 8 und -3 + 8 sind dann 5. Könnt ihr auch umdrehen, wenn ihr wollt. 8 - 3. Okay,
3:02 das funktioniert nicht nur, wenn ihr drei Koordinaten habt, sondern auch, wenn ihr nur zwei Koordinaten habt. Dann seid ihr einfach schneller fertig.
3:10 Skalarprodukt soll hier wieder gebildet werden. Wir nehmen E her und multiplizieren es dieses Mal mit F. Selbe Prinzip.
3:21 Sind halt diesmal ein paar Brüche mit dabei. Macht nichts. Wir multiplizieren ein/H/B mal -3.
3:30 Schöne Klammer drumrum. Immer ein Plus dazwischen zweiten Koordinaten 0 mal. Das ist immer schön. Egal, was da kommt, kann uns völlig egal sein. Es wird mit 0
3:41 multipliziert. Okay, lass uns ausrechnen. 1/2* -3 + mal minus wird schon mal zu minus und ein/ 3, da können wir 1* 3 rechnen, was 3 sind und die
3:54 halbe bleibt unten stehen. 0 mal irgendwas kommt nichts mehr dazu. -3/ ist also das Skalarprodukt von diesen beiden Vektoren.
4:04 Und auch falls noch irgendwie Unbekannte in euren Vektoren stehen sollten, aus welchen Gründen auch immer, funktioniert das Prinzip immer auf dieselbe Art und
4:16 Weise. Wenn ihr das Skalarprodukt bilden wollt, ich glaube, ihr habt's verstanden. Dieses Mal wollen wir x mal y ähm bilden. Wir gehen genauso vor und
4:25 lassen uns da gar nicht irritieren. 2a* -4. Man wird dann natürlich auch schneller mit der Zeit, kann man auch direkt ausrechnen. Sind dann - 8a in dem
4:38 Fall plus kommt immer dazwischen. Nächste Koordinate a* 0, brauchen wir gar nichts dazu zu rechnen. Und dann plus die letzte Koordinate -a*
4:51 -3. mal minus wird zu plus. A* 3 sinda und jetzt müssen wir das nur noch zusammenfassen. -8a + 3a, da hier ein a steht, hier ein a steht, müssen wir nur
5:05 die Zahlen zusammenrechnen. -8 + 3 sind -5 und das a noch hinten dran. Und das ist unser Ergebnis. Ich hoffe, es ist klar geworden, wie man vorgehen kann.
5:17 Und falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video. Macht's
5:22 gut.