Zufallsvariablen | diskrete und stetige Zufallsvariablen | Massenfunktion und Dichtefunktion
wirtconomy
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Transkript (automatisch erstellt)

0:00 [Musik] Willkommen bei Word Conomy. Heute klären wir die Frage, was eigentlich hinter dem Begriff der Zufallsvariablen in der
0:14 Statistik steckt. Legen wir gleich mal los. Bei einer Zufallsvariable handelt es sich im Allgemeinen um eine Variable, dessen Wert vom Zufall bedingt wird. In
0:24 der Statistik werden Zufallsvariablen üblicherweise mit einem großen X dar. zu verstehen, um was es sich genau bei Zufallsvariablen handelt, hilft euch
0:34 dabei weiter unter anderem die Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Statistik richtig zu verstehen. Bei Zufallsvariablen wird zwischen zwei
0:42 verschiedenen Formen unterschieden und zwar zwischen den sogenannten diskreten Zufallsvariablen und den sogenannten stetigen Zufallsvariablen.
0:51 Diskrete Zufallsvariablen zeichnen sich dadurch aus, dass diese abzählbar sind. Das bedeutet, dass zwischen den einzelnen Ausprägungen feste Abstände zu
1:00 beobachten sind und somit eine konkrete Aussage in Bezug auf den Wert der Zufallsvariable getroffen werden kann. Ein Beispiel hierfür wäre die Anzahl von
1:10 verkauften Kaffees. Hier kann am Ende des Tages genau ermittelt werden, wie viele Kaffees nun tatsächlich verkauft worden sind. Da ja nur ganze Kaffees
1:18 verkauft werden können, ist hier also der gerade angesprochene feste Abstand und zwar zwischen einem, 2, drei Kaffees und so weiter gegeben. Die diskreten
1:28 Zufallsvariablen lassen sich mit Hilfe der sogenannten Massefunktion darstellen. Hier gibt jeder Strich beispielsweise die Anzahl der verkauften
1:36 Kaffees für den jeweiligen Wochentag an. Und nun zu den stetigen Zufallsvariablen. Diese sind im Gegensatz zu den diskreten
1:44 Zufallsvariablen nicht absehlbar. Hier sind keine festen Abstände zwischen den einzelnen Ausprägungen gegeben, sondern diese können beliebige Werte innerhalb
1:54 des Intervalls annehmen. Ein Beispiel hierfür wäre etwa das Wasservolumen in einem See. Hier haben wir es ja nicht mit festen Abständen zwischen den
2:03 Literanzahlen zu tun, sondern das Wasservolumen kann unendlich viele Werte beispielsweise nach der Kommazahl annehmen. So kann das Wasservolumen
2:13 beispielsweise 50,3767 und so weiter und so weiter Millionen Liter Wasser beinhalten und ist somit eben nicht direkt abzählbar. Stetige
2:23 Zufallsvariablen werden wiederum mit Hilfe der sogenannten Dichtefunktion dargestellt. Hier wird z.B. das Wasservolumen eines Sees innerhalb eines
2:32 Jahres dargestellt. Hier ist die Funktion also immer verbunden, da der individuelle Wert ja nicht genau abgezählt werden kann. Perfekt. Nun
2:41 schauen wir uns noch anhand eines kleinen Beispiels an, wie wir eine Funktion für Zufallsvariablen aufstellen können. Wir haben die Aufgabe bekommen,
2:49 die Funktion für die folgenden Zufallsvariablen aufzustellen. Hierbei handelt es sich um einen kleinen Friseursalon. Dieser beschäftigt
2:57 insgesamt drei Mitarbeiter. Je nach Terminsituation arbeiten mindestens ein und maximal drei Mitarbeiter während der Öffnungszeiten gleichzeitig im
3:07 Friseursalon. Das n, also die Anzahl der Mitarbeiter, beträgt also 1, 2 oder 3. Und da es sich hierbei um Zufallsvariablen handelt, werden die
3:16 einzelnen Ausprägungen vom Zufall bedingt. Die Wahrscheinlichkeiten P sind in unserem Beispiel aber bekannt. So beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass nur
3:25 ein Mitarbeiter im Salon arbeitet, 0,2, also 20%. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Mitarbeiter gleichzeitig im Salon Haare schneiden, beläuft sich auf 0,3,
3:35 sprich auf 30%. Und die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Mitarbeiter gleichzeitig beschäftigt werden, besitzt einen Wert von 0,5, also
3:44 50%. In der Summe müssen die Wahrscheinlichkeiten immer eins, also 100% ergeben. Nun stellen wir uns die
3:52 Frage, ob es sich bei diesen Zufallsvariablen um diskrete oder um stetige Zufallsvariablen handelt. Da die Anzahl der beschäftigten Friseure die
4:01 direkt abzählbar ist, handelt es sich hierbei natürlich um diskrete Zufallsvariablen. Perfekt. Nun können wir auch schon die
4:08 dazugehörige Funktion aufstellen. Diese fängt immer wie folgt an. F(x) = P, also die gesamte Wahrscheinlichkeit von groß X, den Zufallsvariablen
4:20 klein x für die jeweilige Ausprägung gleich die Summe aus. Und hier setzen wir nun einfach unsere Werte ein und zwar 0,2 für x = 1, also die
4:30 Wahrscheinlichkeit von 20% für einen Mitarbeiter, 0,3 für x = 2, also die Wahrscheinlichkeit von 30% für 2 Mitarbeiter, 0,5 für x = 3, also die
4:43 Wahrscheinlichkeit von 50% für 3 Mitarbeiter, 0 für x kleiner = 0. Also die Wahrscheinlichkeit von 0 % für 0 oder weniger als null Mitarbeiter, da ja
4:55 mindestens ein Mitarbeiter während der Öffnungszeit im Friseursalon beschäftigt sein muss und schließlich 0 für x größer als 3. Also die Wahrscheinlichkeit von
5:04 0%, dass mehr als drei Mitarbeiter gleichzeitig Haare schneiden, da im Friseursalon ja insgesamt nur drei Mitarbeiter beschäftigt sind. So, das
5:14 war's auch schon mit der Funktion. Nun wissen wir endlich, was sich hinter dem Begriff der Zufallsvariablen verbirgt und wie die dazugehörige Funktion
5:22 aufgestellt werden kann. Ich hoffe, dieses Video konnte helfen, das Thema der Zufallsvariablen in der Statistik zu erklären und zu veranschaulichen. Über
5:30 eine positive Bewertung und ein Abo für weitere Statistikvideos würden wir uns sehr freuen. Vielen Dank und bis zum nächsten Mal bei World Economy.