Determinante 4x4 Matrix berechnen – Laplace Entwicklungssatz
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=3cG0HWdmHLI

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr lieben heute möchte ich euch an diesen beiden beispielen zeigen wie der entwicklungs satz von laplace funktioniert mit dem kann man nämlich
0:07 determinanten berechnen von beliebig großen matrizen also nicht nur von seiner drei kreuz drei matrix hier oder vier kreuz 4 vielleicht habt ihr auch
0:16 nur 5 5 oder 6 6 matrix vor euch liegen und da könnt ihr das verfahren einfach anwenden es wird zwar dann ein bisschen langjähriger aber ihr habt zumindest
0:24 meine möglichkeit eure determinante auszurechnen für diese drei kreuz drei matrix hier bräuchte man den entwicklungs satz jetzt nicht zwingender
0:33 weise man könnte auch die regel vom circus oder wie der franzose eigentlicher ist anwenden aber ich möchte es trotzdem erstmal an diesen
0:42 kleineren beispiel demonstrieren wie der entwicklungs satz funktioniert weil bei diesen größeren matrizen wird es schnell umfangreich und unübersichtlich und für
0:51 den einstieg vielleicht nicht ganz so gut geeignet also schnappen uns mal unsere kleinere matrix und schauen wie man mit dem entwicklungs satz von applus
0:59 determinante berechnen kann erster schritt zeile oder spalte auswählen also wir wählen irgend eine zeile aus oder irgendeine spalte die uns besonders gut
1:13 gefällt gefallen bedeutet in unserem fall da sind viele nullen drin so viele nullen wie ihr erwischen könnte also die erste spalte hier würde vielleicht
1:21 keinen sinn ergeben weil wir in der zweiten spalte schon mit drin haben also wenn wir die jetzt einfach mal aus das war schon der erste schritt noch nicht
1:30 so anspruch soll zweiter schritt vorzeichen eintragen das bedeutet nachdem wir unsere teile aus der spalte hier in dem fall ausgewählt haben legen
1:41 wir so ein vorzeichen gitter über unsere matrix das ist immer so dass man ganz oben links mit einem plus startet und dann wechselt das vorzeichen immer von
1:52 eintrag zu eintrag also wenn ihr im plus es kommt hier - hin hier wieder im plus wenn ihr ein plus wenn man runter geht - plus wenn dann - ist und gegen rechts
2:01 klos - ich denke das prinzip verstanden und hier unten wieder ein plus das schöne ist dass auf der diagonalen dann immer plus entstehen also ihr könnt auch
2:12 so vorgehen und erst mal auf der diagonalen klasse hinschreiben und von dort aus dann immer abwechselnd eure vorzeichen setzen die werden wir gleich
2:19 brauchen haben wir schon markiert damit hätten wir den zweiten schritt erledigt jetzt kommt der dritte schritt und ausführlichste wir sollen spalten oder
2:28 zeilen streichen und es hängt davon ab was wir im ersten schritt ausgewählt haben haben wir hier eine zeile ausgewählt im ersten schritt dann werden
2:38 jetzt spalten gestrichen haben wir aber so wie wir in unserem beispiel eine spalte ausgewählt dann werden jetzt zeilen gestrichen schauen wir uns das
2:48 mal in unserem beispiel an hier ist unsere vorbereitete martrix wie können wir da jetzt die determinanten berechnen wir brauchen die zahlen von der spalte
2:58 die jetzt so grün markiert ist mit den eingearbeiteten vorzeichen also die vorzeichen wirken sich immer nur auf unsere markierte spalte jetzt hier in
3:07 dem fall aus also die anderen vorzeichen könnt ihr weg machen dass es euch vielleicht nicht so irritiert schreibt die dann am besten auch gar nicht erst
3:14 dorthin haben das war jetzt nur für den aufbau wie dieses vorzeichen raster überhaupt aufgebaut ist und jetzt brauchen wir eben die zahlen also aus
3:22 der 2 mit einem minus zwei die wird gleich mit etwas multipliziert ich lass mal ein bisschen platz dann kommt die +0 mal ihr seht schon mal ist immer sehr
3:34 schön weil es gleich weg fliegen wird und hier haben wir minus -1 also eine plus einmal hier in die lücken kommen jetzt neue
3:44 determinanten die wir erst finden müssen die matratzen davon aber überall kommt eine neue determinante rein und da kommen jetzt die zeilen streichungen ins
3:56 spiel denn diese neuen determinanten finden wir indem wir zuerst die erste zeile streichen dann die zweite zeile streichen und dann die dritte zeile
4:06 streichen folgendermaßen wir streichen die asse zeile das ist dann die die zu der 22 dann hier gehört und zwar kommen jetzt hier kleinere matrizen rein von
4:17 den zahlen die weder grün durchgestrichen sind noch rot durchgestrichen sind also die 342 und -2 diesen zahlen liegen dort so frei und
4:27 kommen hier als neue matrix rein und ihr seht es ist jetzt nur noch eine 2 kreuz zwei matrix und die determinante davon die lässt sich ganz so lang sehr leicht
4:36 berechnen sehen wir gleich erstmal im zweiten teil was hätten wir dafür determinante wir müssen dafür unsere streichung eine zeile weiterschieben
4:45 dazu 0 zugehörig kommen dann jetzt die freiliegenden zahlen 102 und - zwei kommen hier rein und für die dritte determinante auch da wieder die zeile
4:58 eines weiterschieben 13 04 sind die zahl die nicht durchgestrichen sind und jetzt rechnen wir das eben aus schöner weise fällt das schon mal weg darum müssen wir
5:11 uns nicht kümmern und den rest komme aus rechnen - zweimal wie berechnet sich seine 22 determinante mit den diagonalen können wir dort arbeiten und zwar werden
5:23 die einfach miteinander multipliziert also von links oben nach rechts unten dreimal - zwei sind - 6 und dann wird die andere diagonale abgezogen also zwei
5:33 mal hier sind acht das wird von den vorherigen abgezogen - 68 wären - 14 das ist der wert der determinante von hier vorne das brauchen wir nicht und hier
5:45 hinten kommt noch einmal diese determinante auch hier wieder die diagonalen multiplizieren und voneinander abziehen einmal vier sind
5:53 vier - dreimal neue sind null also vier hätten wir da dann hätten wir insgesamt - zweimal - 14 sind 28 plus die 4 hinten insgesamt haben wir
6:04 dann eine determinante von 32 und das ist der ganze entwicklungs satz die determinanten die man hier man bekommt sind immer eine einheit kleiner als die
6:14 vorherige determinante also wenn ihr einen 3 kreuz drei matrix war landet man im ersten schritt direkt mal bei zwei kreuz zwei antritten ihr könnt euch
6:22 vorstellen bei einer 4 kreuz firma tricks lange ist man erstmal dann im ersten schritt bei der drei kreuz drei matrix und erst immer das verfahren noch
6:31 mal dann anwendet werden die determinanten immer kleiner aber diese matrizen dann immer kleiner probieren wir es schritt für schritt als erstes
6:40 wählen wir eine zeile oder eine spalte aus die möglichst viele nullen enthält das kann zum beispiel diese spalt hier sein oder aber auch hier unten diese
6:51 zeile so haben wir 20 drin da auch könnt ihr wählen wie ihr wollt aber nimmt wirklich viele nullen sonst macht ihr euch unnötig arbeit das war der erste
7:00 schritt dann vorzeichen eintragen okay das können wir wir starten ganz oben links mit einem plus und können jetzt entweder abwechselnd hier runter gehen
7:10 und von da dann hier zur seite oder ihr sagt okay ich möchte nicht darunter gehen ich glaube erst über die diagonale also ich weiß dass die elemente auf den
7:21 diagonalen plus sind also hier unten ist ein plus und dann laufe ich rüber könnt ihr machen wie ihr wollt wir brauchen die vorzeichen nur in der markierten
7:29 zeile dann hätten wir das auch schon erledigt und kommen zum dritten schritt spalten oder zeilen streichen okay wir können die determinante berechnen indem
7:39 wir diese zahlen hier verwenden mit vorzeichen also -3 wird gleich mit einer determinante multipliziert die matrix dazu müssen wir noch finden dann im
7:51 zweiten schritt +0 mal können wir uns sparen weil de 0 raus kommt das ist immer sehr gut die nullen sind hier unsere freunde auch hier - viermal wäre
8:03 dann der nächste teil der noch mit einer determinante multipliziert wird und hinten die +0 können wir uns auch wieder sparen jetzt wie kommen wir zu diesen
8:12 matrizen hier trennen wir müssen eben spalten streichen wenn wir die erste spalte streichen das ist hier zugehörig zu der - drei dann kommen jetzt die
8:22 zahlen hier rein die frei rum liegen also die nicht durchgestrichen sind die sind hier schön in diesem muster schon angeordnet hier
8:32 oben rechts im eck dann schieben wir unseren marca 1 weiter das ist aber dass mit der null die müssen wir gar nicht berücksichtigen deswegen geht es noch
8:41 ein zweiter hierzu - 4 da kommen jetzt die zahlreich die jetzt frei legen also hier 211 von der vorne dann hier 0 23 jährige
8:53 arbeitet desto besser diesen auch durchgestrichen hier hier hinten die drei liegen aber noch frei und dann schauen wir wenn man noch ein zweiter
9:03 schieben das war schon wieder die null müssen wir nicht berücksichtigen das müssen wir jetzt nur noch ausrechnen das habe ich jetzt auf die nächste seite
9:10 geschrieben und ihr seht da sind jetzt drei kreuz drei matrizen drin die man mit der regel vom zaun brechen könnte aber macht man nicht denn wir sind hier
9:20 im entwicklungs satz wie üben was das zeug hält damit wir schneller werden mit dem ganzen -3 bleibt hier vorne wie können wir die determinante berechnen
9:30 wir wählen eine zeile oder spalte aus wir können hier zum beispiel die nehmen die hat man sonst mehr nullen kriegen wir nicht in einer zeile oder spalte die
9:41 vorzeichen dran hier mit einem plus starten abwechselnd minus und plus das heißt wenn wir jetzt die spalten streichen hier vorne ist eine null
9:53 interessiert uns nicht können wir direkt schon mal weiter laufen das ist eine -1 die wir brauchen hier schöne klammer hin wegen der - drei die jetzt mit allem x
10:04 was jetzt kommt also - 1 x welcher determinante von den zahlen die hier übrig bleiben 24 32 stehen es vielleicht ein bisschen
10:16 nach zahlen einzeln sein dann wird die spalte 1 weitergeschoben plus/minus 2 sind - zweimal die determinante von den frei liegenden
10:27 zahlen die hier rumstehen das war's sind wir hier vorne fertig dann die -4 mit dem zweiten teil das schreibe ich mal hier die zweite zeile
10:38 das soll hier ebenso weitergehen und klammer auf auch hier wir wählen eine zeile oder spalte außen immer einfach mal hier dient das 90 drin und
10:51 vorzeichen dran auf der diagonalen sind plus ansonsten abwechselnd - dann am schreiben und wir legen los mit streichungen von zeilen dann jetzt hier
11:05 in dem fall die nullen interessiert uns nicht können wir direkt weiter schieben dann hätten wir da die plus zwei die mit welcher determinante multipliziert wird
11:16 die zahl die hier frei herumliegen werden hier eingetragen und 1 weiter schieben - dreimal und jetzt kommt die dezente noch von den
11:30 frei liegenden zahlen einfach eintragen und die müssen wir jetzt gleich noch berechnen also ihr seht man wird schon schneller mit der zeit aber es bedarf
11:39 ein bisschen übung das habe ich jetzt noch auf die nächste seite geschrieben und jetzt werden einfach nur noch diese kleinen determinanten berechnet hier
11:47 hätten wir null kommen wir glauben - 1 x diese determinante über die diagonalen gehend zweimal 2004 abgezogen wird drei mal vier also zwölf das sind minus 8
12:01 dann - zwei mal was haben wir hier auch wieder diagonalen zweimal 1 und 2 - 0 sind 2 das war schon der erste teil und hier noch die -4 wird dann
12:15 x 2 x 2 x 2 sind vier - einmal - zwei sind - zweiter muss man mit den vorzeichen super aufpassen 54 +2 also sechs und die letzte determinante
12:30 auch wieder zwei mal vier sind acht abgezogen wird - 1 x - zwei sind +2 also auch sechs samba hier und damit ein bisschen kopfrechnen was haben wir hier
12:44 minus 1 x -18 8 abgezogen werden vier also 4 und hier hinten 12 -18 sind - und dann haben wir insgesamt - 12 los - firma wechseln +24 und insgesamt
13:06 landen wir bei dann hoffe ich dass euch das video geholfen hat und jetzt mit euren beispielen zurechtkommt falls ihr fragen habt schreibt sie gerne in die
13:13 kommentare ansonsten leicht das video gerne und wir sehen uns bei einem nächsten macht's gut