Was ist eine Differentialgleichung? - Einführung
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=2qQYxam2QGg

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Differential. Differenzial. Da bimmelt's doch. Was gab's da auch gleich damit? Shit, stimmt. Den Differentialquotient. Also die Steigung von der Funktion an
0:12 der Stelle. Aber was soll jetzt eine Differentialgleichung sein? Differentialgleichungen braucht man ziemlich oft. In der Unimatte werden die
0:24 Dinger andauernd durchgekraut. Die Teile sind aber auch so echt praktisch. meistens, wenn man weiß, was es ist und wie man sie löst. Aus der Schule kennt
0:33 ihr vielleicht noch ganz dunkel den ganzen Kram zu Wachstum. Exponentiell, beschränkt, logistisch und bla. Wenn nicht, hier haben wir dazu mal was
0:41 gemacht. Beim Wachstum war es immer so, da hat man ja eine Menge an irgendwas oder generell einfach eine Funktion von der Variablen, irgendwelche Tiere in dem
0:50 See oder Temperaturen irgendwo oder weiß Gott was noch. Wir nehmen einfach mal eine Menge Kannickel, die den ganzen Tag rumknattern. also sich vermehren. Man
0:59 hat sich dann auch angeguckt, wie sich die Menge verändert. Also z.B. wie viele Tiere pro Tag dazu kommen. Beim Wachstum haben wir immer gesagt, wie viel neu
1:08 dazu kommt, hängt davon ab, wie viel schon da ist. F von T ist meine Änderung der Menge und F t halt die Menge, die schon da ist. Also, wenn ich vier Tiere
1:19 im Gehege habe, dann kriegen die natürlich weniger Kinder als wenn ich 40 fortpflanzungswütige etwasse darumlungern hab. Euer Wachstum hängt
1:27 also vom Bestand selbst ab. Das ist wichtig. Merkt euch das. Wenn ihr einen größeren Bestand an Hasen habt, dann wächst dieser Bestand auch schneller.
1:36 Dieses Wachstum ist ja gerade die Änderung der Funktion. Also Ding Dong, die Ableitung nach der Variablen. Manchmal gibt's dann noch so Gepress mit
1:44 einer Schranke oder bla, aber eins gilt bei Wachstum immer. Wenn man eine Funktion von der Variablen hat, dann hängt die Ableitung von der Funktion
1:52 nach der Variablen von dem Funktionswert selbst ab. Das Ganze ist das klassische Beispiel für, ihr habt's euch gedacht oder vielleicht noch gewusst, eine
2:00 Differentialgleichung. Natürlich gibt's noch viel viel mehr Differentialgleichungen. Shit. Allgemein hat man so eine
2:07 Differentialgleichung immer, wenn in der Gleichung eine Funktion und eine oder mehrere Ableitungen gleichzeitig vorkommen. Es ist dabei auch egal, wie
2:16 vielte Ableitungen da drin sind. Unser Wachstumsteil ist auch eine Differentialgleichung. Warum? Na ja, da stecken ja zum einen die Ableitungen
2:25 drin. Hier vorne das f t und die Funktion selbst steckt auch drin. Hier hinten f von t. Achtung, beim Wachstum ist es so, man weiß allein aus der
2:35 Differentialgleichung noch lang nicht, wie viele Tiere gibt's denn zu einem Zeitpunkt t. Man weiß nur, wie das Wachstum und der Bestand zusammenhängen.
2:45 Also aus der Differentialgleichung könnt ihr nicht direkt die Funktion in Abhängigkeit von der Variablen ablesen. Ihr könnt mir nicht so einfach sagen,
2:53 wie die Funktion f von t hier wirklich aussieht. Ihr wisst nur, ah, okay, die Ableitung hängt so von der Funktion ab. Übrigens noch ein Nebenfakt. Wir sagen,
3:03 unsere Definitionsmengeht heute nur aus einer Variablen. Theoretisch kann man da auch mehrere verknüpfte Mengen reinpacken, aber so einen Kack wollen
3:12 wir heute nicht. Also nichts mit Vektoren oder sonstigem Mängelf Elefanz in diesem Video, einfach nur eine unbekannte Zahl. Solche einfacheren
3:21 Teile heißen dann gewöhnliche Differentialgleichungen. Gibt von den gewöhnlichen Gleichungen zwei Typen. Zum einen die expliziten.
3:30 Explizit heißt so eine immer, wenn sie nach der höchsten Ableitung aufgelöst ist. Dann ist die höchste Ableitung eine Funktion von allen Ableitungen drunter
3:39 und der Variable selbst. Wenn z.B. ganz vorne also eine fünfte Ableitung steht, dann steht nach dem ist gleich keine höhere Ableitung mehr. Also maximal noch
3:50 die vierte Ableitung. Übrigens, Ableitungen werden oft mit so Hochzahlen in Klammern geschrieben, weil man ja keine 1000 Striche machen kann. F und in
4:00 Klammern eine fünf oben ist also die fünfte Ableitung. Dann gibt's noch implizite Differentialgleichungen. Implizit heißt eine
4:08 Differentialgleichung, wenn es so eine Art Überfunktion gibt, die dann alle Ableitungen und die Variable auch als Variablen hat und die immer null gibt.
4:18 Klingt kompliziert, ist aber einfach. Auf der einen Seite steht halt eine Null. Beispiel: Das ist die explizite Form unserer
4:26 Wachstumsdifferentialgleichung. Wenn man jetzt einfach alles auf eine Seite bringt, dann haben wir die implizite Form. Merkt euch einfach,
4:34 alles auf einer Seite gleich 0, dann ist ganz easy. So viiel zu implizit und explizit, damit ihr Bescheid wisst, wenn euer Proförter durch den Vorlesungssal
4:43 wirft, falls ihr da manchmal seid. Wir gucken uns eher erstmal nur die expliziten Gleichungen an. Einen Begriff haben wir noch, die Ordnung. Keine Panik
4:53 ist ganz easy. Die höchste Ableitung entscheidet immer, welche Ordnung so eine Differentialgleichung hat. Wenn ihr eine dritte Ableitung mit dabei habt,
5:01 dritte Ordnung. Eine fünfte Ableitung, Logo, fünfte Ordnung. Also Quizfrage, ob ich es gecheckt habt. Welche Ordnung hat die Differentialgleichung f t = tri mal
5:11 f von t? A2, B1, C0 oder D? 703458,89. Drückt jetzt Pause und schreibt die Lösung in die Kommentare. Geil. Grundbegriffe für die Vorlesung
5:25 sind also abgehakt. Und jetzt noch die typische Frage: Und wo braucht man das im Alltag? Ist ziemlich leicht zu beantworten. Gar nicht. Ja, aber
5:34 praktisch überall in der Wirtschaft. Halt falsch die Wirtschaft. Modelle dort haben manchmal solche Teile als Grundlage. In der Physik auch da ist
5:45 gefühlt praktisch andauernd Differentialgleichung. Und Bio. Klar als Modell dafür, wie sich irgendwas vermehrt, aber auch wie sich
5:53 Stoffe irgendwo ausbreiten. Genauso in Chemie, in Informatik auch und und. Klar, im Supermarkt oder so im normalen Alltag bringt's natürlich nichts, aber
6:02 für Unimatteverhältnisse sind Differentialgleichungen schon mega allgemein nützlich. Kommen wir noch mal zurück zum Problem von vorhin. Schön und
6:10 gut, wir haben jetzt eine Differentialgleichung, aber das bringt uns doch gar nichts, weil wir nicht wissen, wie dann die Funktion aussieht.
6:17 Die Antwort ist doch wissen wir. Man kann nämlich aus der Differentialgleichung die richtige Funktion rauskriegen und oft auch gar
6:24 nicht so schwer. Wir zeigen euch im nächsten Video, wie. Da lösen wir Sonderfälle von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.
6:32 einfach klicken.