Geometrische Reihe (Mathe-Song)
DorFuchs
https://www.youtube.com/watch?v=2TCDiK7GpNM

Transkript (automatisch erstellt)

0:06 [Musik] nimm dir mal ein Plus ein/b + ein vitel Plus ein A + 1 16 man merkt wenn man das immer weiter macht schnell dass das
0:22 niemals endet und genau das ist das dumme woher weiß ich denn was rauskommt bei einer unendlichen Summe nun vielleicht HT es wenn wird das
0:28 Visualisieren und da könnte man es ja mit einem Kuchen probieren nimm man da einen und einen halben und einen Viertel und ein Achtel dann sieht man wenn man
0:36 das macht schnell man erreicht zwar nie die zwei doch kommt immer näher ran weshalb man sich die zwei einfach als Grenzwert nehmen kann und man sagt dann
0:44 diese Reihe konvergiert gegen 2 und deshalb ist die unendliche Summe genau zwei und schau mal die summanten sind Potenzen von ein/b den man da einfach
0:53 mal ein X statt ein/b dann sieht man das X hooch i die summanten darstellt wobei die Summe i von 0 bis unendlich hoch z und das Ding nennt man jetzt die
1:01 geometrische Reihe und pass mal auf was ich dir jetzt zeige denn jetzt geht es darum ob diese Reihe konvergiert und es gilt garantiert die geometrische Reihe
1:12 konvergiert gegen 1 durch 1- x zumindest wenn der Betrag von X kleiner als 1 ist ansonsten konvergiert da n die geometrische Reihe konvergiert gegen 1
1:25 dur 1- x zumindest wenn der Betrag von X kleiner als 1 ansonsten konvergiert da n bevor wir sehen wogegen die Summe mit unendlich
1:35 konvergiert schauen wir was passiert wenn man nur bis n addiert und diese Summe dann mit 1- x multipliziert denn wenn man insgesamt jetzt aus
1:43 multipliziert steht da einmal das Ding - x mal das Ding und jetzt schauen wir hier hinten mal genauer hin hier steht x mit Exponenten von 0 an bis n wobei ich
1:53 durch den Vorfaktor x ja erkennen der Exponent erhöht sich hier um ein jedes Mal schreibt man sich das mit i einfach von eins an wird klar dass man hier ja
2:01 fast die gleiche Summe wieder subtrahiert so dass man alles bis auf das hier verliert und jetzt dividiert man mit 1- x und ab hier geht das
2:10 relativ fix denn für Betrag von X kleiner als 1 steht hier eine Nullfolge und das gilt dem zufolge die geometrische Reihe konvergiert gegen 1
2:20 durch 1- x zumindest wenn der Betrag von X kleiner als ein ist ansonsten konvergiert da n die geometrische re konvergiert gegen 1 dur 1- x zumindest
2:33 wenn der Betrag von X kleiner als 1 ist ansonsten konvergiert D nicht und ist der Betrag von X größer gleich 1 dann siehst Du für die Folge x hoch i sicher
2:49 ein dass die für i gegen Unendlich nicht gegen Null konvergiert weshalb dann nämlich diese Reihe hier nicht
3:04 [Musik] konvergiert