Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=0yF1Tqdrqnc

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 In diesem Video lernen wir, welche verschiedenen Lösungsmengen ein lineares Gleichungssystem kurz LGS haben kann. Wie ihr schon seht, gibt es drei
0:09 verschiedene. Eine Lösung, keine Lösung und unendlich viele Lösung. Wir fangen mit genau einer Lösung an. Jan hat dieses Gleichungssystem.
0:21 Er sieht, darin sind drei Unbekannte X1, X2 und X3. Die Lösungen für dieses LGS sind 1, das heißt, jede Unbekannte muss genau
0:33 einen Wert annehmen, damit es LGS gelöst werden kann. Man spricht hierbei dann von einer Lösung. Wenn ihr noch nicht wisst, wie man ein
0:42 LGS löst, schaut euch unser letztes Video zum Thema Lösen von Liljaengleichungssystem an. In diesem gab es am Ende nämlich auch genau eine
0:50 Lösung. Die zweite Möglichkeit ist, dass ein LGS keine Lösung hat. Wieder hat Jan ein LGS mit drei Unbekannten und drei
0:59 Gleichungen gegeben. Wie im letzten Video gelernt, löscht er eine Variable hier X1 aus, indem er Zeile 1 und Zeile 2 voneinander
1:09 subtrahiert. Vorher hat er noch Zeile 2 mit 2 multipliziert. Wenn ihr noch nicht ganz fit seid im Lösen von LGS, dann
1:16 empfehlen wir euch auf einem Blattpapier mitzurechnen und immer mal wieder Pause zu klicken, um unsere Schritte nachzuvollziehen.
1:23 Da im letzten Video das Lösen erklärt wurde, überspringen wir jetzt viele Schritte.
1:30 Auf jeden Fall erhält er nun eine vierte Gleichung. Dasselbe macht er noch mal nur mit einer anderen Zeile, um nochmals x1
1:39 herauszulöschen. Damit erhält er dann eine fünfte Gleichung. Weil er jetzt die Gleichung 4 und 5 miteinander verrechnen muss, ändert an die fünfte Gleichung so,
1:48 dass er die beiden einfach addieren kann. Dazu teilt er sie durch 2, damit vor der Variable x2 derselbe Faktor hier 7 steht.
1:57 Dann kann er die beiden Gleichung miteinander addieren. -7 und +7 lösen sich sowohl bei x2 als auch bei x3 aus und 2 - 1 ergibt 1. Als Ergebnis erhält
2:09 er 0 = 1. What? 0= 1. Was soll denn bitte die Krage? Hä? Na ja, jetzt sehen wir, dass die Aussage
2:19 falsch ist, denn null kann ja irgendwie nicht eins sein, oder? Daher besitzt es LGS keine Lösung. Nun zur letzten Möglichkeit, die ist,
2:29 dass das LGS unendlich viele Lösungen hat. Auch hier erklären wir das Ganze mit einem Beispiel. Wir überspringen wieder ein paar Schritte und haben
2:37 bereits x1 herausgeworfen und die Gleichung 4 und 5 erhalten. Diese addieren wir dann wie gewohnt 5 - 5= 0, -10 + 10= 0 und 10 - 10 auch 0. Das
2:50 Ergebnis ist also 0 = 0. Ja, das macht Sinn. Es handelt sich hier also um eine wahre Aussage,
2:59 aber was zum Teufel sagt uns das? Falls ihr beim Lösen eines LGS auf so etwas stoßt, also 0 = 0 oder 5 = 5, dann wisst ihr, dass das LGS unendlich viele
3:10 Lösungen hat. Dann dürft ihr eine Variable, am besten x3 beliebig wählen. Wir nehmen jetzt x3 und setzen es gleich t. Dann kann man
3:20 also für x3 jeden beliebigen Wert einsetzen. Jetzt müssen wir auch noch die anderen Unbekannten, also x1 und x2 herausfinden und setzen deshalb x3 = t
3:31 in unsere Gleichung 4 ein. Das ergibt dann 5x2 - 10t = 10. Dann die -10t auf die andere Seite und geteilt durch 5. Und wir erhalten x2 = 2 + 2t. Wir haben
3:46 also x3 Variabel gesetzt. Man kann jede beliebige Zahl für X3 einsetzen, muss dann aber X2 dementsprechend ändern, damit das LGS
3:56 weiterhin gelöst werden kann. Jetzt setzen wir wie immer X3 und X2 in unsere Gleichung ein. Dabei müsst ihr aufpassen, wenn ihr x2 einsetzt. Das
4:07 müsst ihr nämlich in eine Klammer schreiben. Und wenn ihr sie dann auflöst, müsst ihr beide Teile mit dem Vorfaktor in dem Fall 2 multiplizieren.
4:17 Wenn man das Ganze dann aufgelöst hat, erhält man x1 = 2 - t. Unser LGS hat also die Lösung x3 = t, x2 = 2 + c und x1 = 2 - t.
4:30 Weil man für T jeden beliebigen Wert einsetzen kann, hat das LGS unendlich viele Lösungen. Setzt ihr z.B. für T1 ein, so ist X3 = 1. X2 ist dann 2 + 2*
4:42 1, also 4. Und X1 ist dann 2 - 1, also 1. Also wie ihr seht, gibt es nur drei mögliche Lösungsmengen eines LGS. Wenn ihr das LGS wie gewohnt lösen könnt und
4:54 am Ende drei Zahlen herauskommen, dann hat es genau eine Lösung. Wenn ihr auf eine unwahre Aussage stoßt, wie z.B. 5 = 7, dann wisst ihr, dass das LGS keine
5:04 Lösung hat oder ihr habt euch verrechnet. Und wenn ihr auf eine Aussage wie z.B. 1 = 1 oder 0 = 0 stoßt, dann müsst ihr eine unbekannte Variabel
5:14 setzen. In der Regel nimmt man dann X3 = T und die restlichen Unbekannten wie gewohnt ausrechnen.