INTEGRALRECHNUNG einfach erklärt – Integrale bestimmen Einführung, Erklärung
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=0vdcvDg-Lkk

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute möchte ich euch eine Einführung in die Integralrechnung geben und wir werden am Ende des Videos tatsächlich das Integral von dieser
0:09 Funktion hier berechnen bevor wir aber an die Berechnung gehen möchte ich euch erstmal zeigen was das Ganze überhaupt soll bei der Integralrechnung geht es um
0:17 Flächenberechnungen und zwar hat man wenn man das jetzt anschaulich sehen will hier so ein Koordinatensystem und da ist so eine Funktion eingezeichnet
0:26 und bei der Flächenberechnung geht es zum Beispiel um die Fläche die dieser Graph mit der x-Achse einschließt also zum Beispiel könnte ich sagen hier
0:36 unterhalb dieses Graphen von der 0 bis zur 4 hätte ich gerne dieses Flächenstück hier ausgerechnet da ich das nicht ganz so schön zeichnen kann
0:47 habe ich das einfach mal hier schon mal vorbereitet hier hätten wir das ganze noch mal und jetzt sagt ihr vielleicht naja wozu
0:54 brauche ich da Integralrechnung das ist doch einfach nur ein Dreieck ich kann das doch einfach ausrechnen der Flächeninhalt wäre wie die Formel halt
1:01 eben ist ein halbmal die Grundseite die ist hier viermal die Höhe die ist hier auch vier und wenn ich das ausrechne 4 x 4 sind 16 mal einhalb sind acht und ich
1:13 habe meine Flächeninhalt ja das stimmt schon das geht hier sehr einfach aber die Funktion ist ja auch sehr einfach wenn die Funktion plötzlich so aussieht
1:22 und ihr wollt dieses Flächenstück hier berechnen dann sieht die Welt nicht mehr ganz so gut aus und ihr sagt vielleicht ja Integralrechnung könnte da vielleicht
1:31 hilfreich sein also alles was sie am Anfang basiert könnte man noch mit den normalen Formeln berechnen aber sobald die Funktionen an sich also dieses rote
1:41 was man hier sieht komplizierte aussieht braucht man auf jeden Fall die Integralrechnung ich will euch aber trotzdem jetzt an diesem Beispiel an
1:48 diesem einfachen Beispiel zeigen dass wenn wir die integrale benutzen klar für den Flächeninhalt auch acht rauskommt so wie wir das jetzt gerade mit dem Dreieck
1:58 einfach berechnet haben schauen wir uns das mal an was wir dafür brauchen als allererstes muss ich die Funktionsgleichung von dieser roten
2:06 Funktion eben kennen die ist gegeben die heißt FX = x das ist einfach nur eine Gerade okay die braucht man immer und dann muss ich wissen von wo bis wo ich
2:17 integrieren will ich soll die Fläche von 0 bis 4 Integrieren von wo bis wo bedeutet auf der x-Achse nicht auf der Y-Achse das interessiert uns nicht
2:25 sondern von wo von rechts nach links von wo bis wo von 0 bis 4 dann kann ich mein integral nämlich aufstellen das Integralzeichen sieht so aus ist um
2:34 geschwungenes S und langgezogenes S und da kommen jetzt oben und unten die Grenzen dran in denen ich eben integrieren möchte von 0 bis 4 die Linke
2:45 Grenze kommt hier nach unten nach oben kommt die rechte Grenze in das Integral kommt jetzt das was ich noch nicht benutzt habe nämlich meine
2:55 Funktion die heißt hier x und damit ich jetzt sage das Integral ist jetzt abgeschlossen kommt hinter die Funktion immer noch so ein DX lasst euch von
3:06 diesem DX nicht irritieren das sagt einfach nur das Integral dass sie hier vorne geöffnet habt ist jetzt zu Ende ist jetzt zu
3:15 es hat noch den Vorteil dass man sieht X ist das wonach wir integrieren aber am Anfang hat er sich euch das eigentlich nicht zu interessieren also schließt
3:24 euer integral einfach mit einem DX ab und das kann man jetzt berechnen habt ihr noch die Ableitungsregeln im Kopf integrieren ist nämlich jetzt genau das
3:37 Gegenteil vom ableiten und das macht das Ganze immer so super spaßig dass man da jetzt völlig durcheinander kommt mit den Ableitungsregeln die man kennengelernt
3:47 hat ihr wisst ja wenn man zum Beispiel x hoch 3 ableitet ableitet dass die drei nach vorne kommt und aus dem x^3 wird nur noch ein X Quadrat das ist die
3:59 Ableitung das haben wir im Kopf die Integration ist jetzt der umgekehrte Weg im Grunde bekommt ihr das hier und sollt wissen oder daraus finden was war das
4:11 denn mal vorher und da gibt es aber auch eine Regel dazu die man sich merken kann die folgendermaßen geht und zwar lösen wir dieses Integral jetzt auf indem wir
4:20 hier so zwei eckige Klammern machen unsere Grenzen kommen hier hinten an diese Klammern dran und aus diesem x das müssen wir jetzt integrieren oder die
4:32 Stammfunktion bilden oder aufleiten es gibt so viele Wörter für für diesen Prozess hier jetzt die Regel ist folgende wenn hier ein x^1
4:44 also eure Hochzahl ist eine 1 x hoch 1 stand dann wird da ein x^2 raus also beim Ableiten wart ihr es gewohnt dass die Hochzahl eins kleiner wurde beim
4:54 aufleiten oder integrieren wird die Hochzahl jetzt eins größer ist ja der umgekehrte Prozess macht ja Sinn okay das haben wir geschafft vorne dran
5:04 brauchen wir jetzt aber auch noch so ein Korrekturfaktor und zwar kommt vor dieses x Quadrat immer das was vorher da stand da die Zahl die vorne dran stand
5:16 vor unserem x da stand eine 1 also 1 das ist die 1 die da vorne dran stand durch die neue Hochzahl das ist immer der Teil der vorne dran muss also nochmal von der
5:29 Regel eure Hochzahl wird eins größer und vorne dran kommt ein Bruch der sich zusammensetzt aus der Zahl die vor meinem x stand das war eine 1 und der 9
5:42 Hochzahl und das kann man jetzt eben ausrechnen also das hier ist der schwierigste Prozess dieses Stammfunktion zu finden
5:49 aber wenn wir sie gefunden haben dann wird jetzt eingesetzt die Grenzen werden nämlich jetzt eingesetzt als allererstes setzen wir die obere Grenze ein die 4
5:59 für das X hier drin also dann steht da ein halb mal zuerst die obere also vier zum Quadrat dann kommt immer ein Minus und jetzt setzte die untere Grenze ein
6:10 die Null ein halb mal für das X die 0 einsetzen sind es 0 zum Quadrat und das müsst ihr nur noch ausrechnen 0 mal 1/2 des da hinten fällt weg 4 zum Quadrat
6:23 sind 16 mal einhalb sind oh Wunder unsere acht die wir ja schon ausgerechnet hatten in einem etwas schnelleren Prozess haben jetzt aber
6:31 durch die Integralrechnung auch herausgefunden dass dieser Flächeninhalt zwischen dieser Funktion und der x-Achse eben 8 ist es geht immer um die Fläche
6:43 zwischen von der Funktion und der x-Achse auch wenn ihr unterhalb seid könntet ihr diesen Flächeninhalt hier ausrechnen zwischen der Funktion und der
6:53 x-Achse also immer zur x-Achse hin und das geht halt beliebig kompliziert wir machen mal noch ein Beispiel dass ihr nicht nur dass sie gesehen habt sondern
7:01 eben das was ich euch am Anfang gezeigt habe dass wir jetzt die Fläche integrieren wollen oder berechnen wollen die Fläche von 0 bis 1 sage ich jetzt
7:14 mal die unterhalb dieser Parabel hier liegt auch das habe ich jetzt nicht ganz so schön gezeichnet deswegen schauen wir uns das hier noch mal an diese Fläche
7:24 soll berechnet werden die Parabel bekommen wir die soll 4x^2 heißen und die wollen wir jetzt eben integrieren die Fläche berechnen ist jetzt wirklich
7:35 nicht mehr so einfach dass wir das mit irgendwelchen geometrischen Formen machen können deswegen nehmen wir das Integral was wir gelernt haben die
7:42 Grenzen sind auf der x-Achse von 0 bis 1 die kommen hier an unser Integralzeichen ran dann kommt da die Funktion rein unter der eben die Fläche liegt das ist
7:57 dieses 4x Quadrat und hinten schließen wir das ganze jetzt noch mit diesem dubiosen DX ab schreibt wie gesagt einfach hin das sagt euch jetzt am
8:06 Anfang erstmal gar nichts das ist einfach nur dass das Integral abgeschlossen ist dann gehen wir jetzt ans integrieren diese eckigen Klammern
8:15 kommen dahin unsere Grenzen von 0 bis 1 schreiben wir dran und wir machen das was wir eben gesehen haben wie man jetzt aufleitet die Stammfunktion bildet aus
8:26 dem X Quadrat wird ein x hoch 3 1 höher und vorne dran kommt ein Bruch der sich zusammensetzt aus der Zahl die vorne dran stand die vier und der neuen
8:38 Hochzahl die 3 und das war's fast schon jetzt werden nur noch die Zahlen eingesetzt die Grenzen zuerst die obere in das X also vier Drittel mal eins hoch
8:50 3 dann kommt immer ein Minus und jetzt wird die untere Grenze eingesetzt 4/3 mal 0 hoch 3 das wird Gott sei Dank wieder Null das kann man ausrechnen und
9:00 wird zu vier dritteln und das hier ist jetzt die Fläche oder der Flächeninhalt der hier so blau gezeichnet ist sehr gut das ist die Einleitung in die
9:11 Integralrechnung die Funktion werden natürlich schwieriger also da kommt noch einiges auf euch zu aber das sind schon mal die Basics und wenn ihr die
9:18 beherrscht dann solltet ihr da Stück für Stück durchkommen dann hoffe ich dass ihr wisst wie es geht jetzt und dass wir uns beim nächsten Video sehen macht's
9:24 gut