INTEGRATION durch SUBSTITUTION – Integral mit Wurzel berechnen, neue Grenzen
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=0j55gTZVwy0

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hey ich bin susanne und ich möchte zusammen mit euch die integration durch substitution durch gehen und zwar schritt für schritt anhand von diesem
0:08 beispiel hier wir haben hier auch grenzen von unserem integral also diese grenzen müssen wir auch umwandeln falls ihr alles schon mal
0:15 so ein bisschen gehört hat das gehen wir in diesem video gemeinsam durch woran sehe ich jetzt dass ich hier was besonderes brauche zum integrieren warum
0:23 kann ich nicht kann ich nicht einfach meine regeln benutzen sich bisher hatte das problem hierbei dieser funktion die wir hier integrieren sollen ist dass das
0:32 eine verschachtelte funktion ist also wir haben hier einmal die wurzel und in der wurzel steht noch eine andere funktion
0:40 ihr kennt das vom ableiten noch was wir vorher gemacht hat da brauchte man sie ketten regel um solche funktionen abzuleiten und beim integrieren ist das
0:50 jetzt sozusagen das programm dazu man muss die substitution verwenden um das hier integrieren zu können und substitution funktioniert folgendermaßen
1:01 wir ersetzen etwas also substituieren heißt einfach nur etwas durch etwas anderes ersetzen und zwar nennt man den buchstaben immer also das wird jetzt die
1:10 substitution an sich wir ersetzen das was uns stört so das ist natürlich jetzt eine blöde aussage euch stellen wahrscheinlich anders an diesem ding
1:19 aber was uns so wirklich stört ist das was unter der wurzel steht weil wenn da jetzt nur eine unter der wurzel stehen würde also wurzel aus dann könnte das
1:30 wiederum ganz normal integrieren mit den regeln die ihr bereits kennt also letztendlich stört uns nur dieses 1 - 2x hier unter der wurzel und das ersetzen
1:40 wir also durch 11 - 2x diesen zusammenhang den braucht man ganz am schluss noch mal bei der rückzug situation
1:51 deswegen markiert euch den den werden wir noch brauchen sodann sieht unser integral erst mal so aus also die wurzel bleibt die haben wir
2:02 gesagt mit der machen wir nichts aber das unter der wurzel wird durch ein ue ersetzt und jetzt müssen wir noch irgendwie
2:10 gucken wie wir das dx umschreiben können denn das dürfen wir nicht einfach hinten dran setzen weil dann su und ex gemischt und in funktion hinter gar nichts mehr
2:19 also müssen wir auch hier durch diesen diese gleichung hier jetzt einen zusammenhang zwischen dix und die eu finden
2:28 wie schaffen wir das leiten wir das ding hier mal ab also strich bilden wir jetzt 1 abgeleitet viel dreck - 2x abgeleitet da bleibt er dann die - zwei übrig jetzt
2:43 ist strich so die gängige weise die ihr kennt um die ableitung zu bezeichnen aber die mathematische schreibweise wäre tatsächlich die eu durch dx und das ist
2:56 natürlich gut denn jetzt kriegen wir gleich einen zusammenhang zwischen der eu und den ex also stadt oestrich kann man halt auch die eu durch dx schreiben
3:06 am anfang kommt einem das immer ein bisschen eigenartig vor aber schreibt einfach hin rechnet aus und arbeitet damit anders geht es dann leider nicht
3:15 jetzt lösen wir das hier diese gleichung nach dix auf weil wir wollen das dx hier ersetzen wir multiplizieren zuerst mit dem dx damit es hier unten aus dem
3:25 nenner rauskommt dann steht da nur noch die eu auf der seite und auf der rechten seite steht die - 2 x dem dx jetzt haben wir es fast schon wir wollen 86 auflösen
3:37 dann müssen wir jetzt nur noch durch diese - 2 hier teilen damit die da verschwindet auf der rechten seite da steht dann nur noch das dx und auf
3:47 dieser seite hier würde das die eu stehen und geteilt durch die - 2 diese schreibweise hier ist nicht ganz so gut für unser integral gleich deswegen würde
4:01 ich euch immer vorschlagen splittet dass die eu von der zahl ab also damit dass die eu alleine steht und die zahl die vor dem die eu steht ist ja
4:12 so ist er der bruch dieses 1 durch - 2 also die zahl trennen von dem der eu einfach nur anders hin schreiben dann kann man nämlich besser damit rechnen
4:25 sehr gut dann haben wir jetzt eine darstellung für das dx und das setzen wir natürlich auch da oben ein das bedeutet statt dem dx können wir
4:35 eben dass das schreiben nämlich mal - ein halb und hinten tragen dass die eu so was haben wir jetzt noch nicht beachtet die grenzen
4:46 die grenzen muss man auch um ändern vorher sind es nämlich so genannte iks kränzen oder bezüglich iks die grenzen und hier haben wir jetzt nur noch u also
4:57 müssen auch die grenzen in grenzen umgerechnet werden und das bekommen wir mit unserer ganz normalen substitution also für das ixs
5:07 setzen wir die untere grenze mal ein die - 1 dann steht der 1 ich schreibe es mal hin also 1 - zweimal für die cigs sitzen mehr geben - 1 1
5:19 wenn man das ausrechnet 1+2 sind drei das heißt meine untere grenze ist eine drei und für die obere grenze herauszufinden die neue obere grenze
5:30 rauszufinden setze ich ebene 0 in das x1 dann steht der 1 - 0 ist 1 das heißt meine obere neue grenze meine grenze ist nur eins so und jetzt wird ganz normal
5:43 integriert weil jetzt ist es um einiges leichter wenn ihr es von dem hier schon integrieren könnt könnte die stamm funktion suchen ich würde es jetzt noch
5:51 einmal umschreiben die zahl nach vorne also dieses - ein halb und statt dem wurzel aus würde ich zu hoch ein halb schreiben damit wir das einfach mit den
6:02 regeln besser integrieren können jetzt wird endlich integriert so aus dem buch ein halb wird ja die hoch zahl um 1 erhöht
6:15 also wenn wir ein halb plus 1 rechnen kommt man auf drei halbe also hoch drei halbe und vorne jetzt brauchen wir noch diesen korrekturfaktor da wird ja die
6:27 vorherige zahl die das stand dieses - ein halb geteilt durch die neue hoch zahl durch das drei halbe und die grenzen sind jetzt immer noch 3 und 1
6:40 und jetzt können wir die grenzen einsetzen oder erstmal ein bisschen vereinfachen dann die grenzen einsetzen wenn wir - ein halb durch drei halbe
6:48 rechnen kommt man auf - ein drittel das habe ich jetzt schon mal auf der anderen seite vorbereitet hier steht genau dass nur ein bisschen vereinfachter und da
6:57 setzen wir die grenzen ein zuerst die obere also die 1 dann steht da - ein drittel x 1 hoch drei halbe dann kommt ja immer ein - und die untere grenze
7:08 wird eingesetzt nämlich die 3 also dann steht da - eintritte mal drei hoch drei halbe und wenn man das aus rechnet kommt man ja
7:22 hier auf - ein drittel und da hinten plus ein drittel mal drei hoch drei halbe und wenn ihr das ausrechnen kommt ungefähr auf 1,4
7:34 das ist die substitution wenn ihr jetzt also wir haben die grenzen ja in grenzen umgewandelt und deswegen konnten wir die grenzen hier jetzt am schluss einfach
7:46 einsetzen weil wir die grenzen abgeändert haben es kann aber auch sein dass er gar keine grenzen habt bei eurem integral dann
7:54 könnt ihr das einfach ignorieren hat dann müsst ihr die grenzen auch nicht abändern es gibt ja keine grenzen nur dann müsste ich hier am schluss ich
8:04 merke mir mal gerade dieses ungleich 1 - 2x es war unsere substitution dann müssten wir wenn jetzt keine grenzen haben und wir nur eine stamm funktion
8:12 gesucht haben dann ignoriert man eben die grenzen aber dann müsste man hier am schluss da wo ist ein drittel mal hoch drei halbe
8:20 steht das kann ja nicht meine stamm funktion seiner plötzlichen drin ist von meiner ursprungs funktion ich brauche irgendwas mit ickx und dann müsste man
8:29 hier noch mal die rück substitution machen das heißt für nix muss ich für das muss ich wieder das einsetzen was ist halt
8:37 mal war nämlich 1 - 2x das bedeutet um die stammposition dann letztendlich zu finden setzt sich hier für das noch mal eins - 2x 1 und buchte drei habe
8:49 natürlich und dann ist das da meine stamm funktion noch das plus c also wenn ihr wirklich nur eine stamm funktion sucht und das ja ganz genau macht muss
8:57 ja immer noch dieses plus c mit dazu oder + k plus ebene konstante aber ich weiß nicht ob das bei euch so wichtig ist aber falls es mal soll dann muss es
9:08 natürlich hier hin weil wir hier keine grenzen haben das ist die substitution muss man sich ein bisschen dran gewöhnen
9:15 aber wenn man ein paar beispiele gerechnet hat dann kommt man eigentlich ganz gut damit durch dann hoffe ich dass wir jetzt wissen wie es funktionierte
9:22 aber meldet euch gerne falls ihr fragen haben solltet