Kombinatorik komplett zusammengefasst Schema+.Aufgaben+Lösungen. Abitur Stochastik Q3
Mathematik-Guru
https://www.youtube.com/watch?v=0LMAAmgEOlo

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo und herzlich Willkommen zu meinem nächsten Video in diesem Video möchte ich euch das größte hasassthema von allen Abiturientinnen und Abiturienten
0:08 erklären nämlich Kombinatorik Kombinatorik ist sehr unbeliebt da man hier viel knubeln muss und man sehr oft zwischen Reihenfolge zurücklegen
0:17 unterscheiden muss und um da für mehr Klarheit zu schaffen habe ich jetzt eine Zusammenfassung erstellt wenn ihr dieses Video komplett versteht versteht ihr
0:26 alles was ihr in Kombinatorik in Abi braucht und ich ich hoffe dass ihr dann einen guten Überblick habt und wisst wann ihr was macht so dann fangen wir
0:34 mal erstmal mit den Begrifflichkeiten an Reihenfolge und zurücklegen die tauchen sehr oft auf mit Reihenfolge bedeutet dass die Reihenfolge der Elemente
0:42 wichtig ist man spricht dann von einer geordneten Stichprobe das bedeutet rot blau ist halt nicht dasselbe wie blau und rot das wären zwei verschiedene
0:52 Fälle mit Zurücklegen man sagt auch mit Wiederholung dazu bedeutet dass ein Element wieder ausgewählt werden kann Beispiels wenn Tim reingenommen wurde
1:01 kann er bei der nächsten Frage noch mal reingenommen werden so dann fangen wir schon mal mit den Regeln an die Produktregel der Kombinatorik besagt
1:08 wenn nacheinander Entscheidung getroffen werden werden die Möglichkeiten dafür jeweils multipliziert wenn beispielsweise jemand von den drei
1:15 T-Shirt sich eins aussuchen möchte und von den beiden Hosen 1s um seinen Outfit zu planen dann hätte diese Person 3* 2 also sechs Möglichkeiten für
1:27 eine outfitkbination so dann kommen wir zum nächsten Fall und zwar sogar in den nächsten beiden Fällen
1:36 die haben was gemeinsam und zwar wird nicht aus dieser Menge irgendwas entnommen oder so sondern hier steht schon eine Menge da und es geht hier
1:44 lediglich um die Fragestellung wie viele Möglichkeiten es gibt diese Elemente untereinander zu sortieren man spricht dann von Permutationen also wie viele
1:53 Fälle gibt es dass sich diese fünf Personen beispielsweise für ein Foto nebeneinander stellen so da gibt es ein fakult t Möglichkeiten also n
2:01 verschiedene Elemente untereinander zu sortieren nfakultät ist eine wichtige Formel bedeutet n mal die eins niedrigere Zahl
2:09 mal eins niedrigere Zahl und so weiter bis 1 wird runter multipliziert das bedeutet ein Fakultät wenn wir also zu unserem Beispiel kommen von den fünf
2:18 Personen die nebeneinander stehen wollen für ein Foto dann gibt es dafür fünf Fakultät Möglichkeiten also F x vier x 3 x 2 x 1 das wären insgesamt 120
2:32 Möglichkeiten die fakultätstaste gibt's auch im teischenrechner also da könnt ihr es gerne eingeben so hier ist jetzt etwas was vor allem für den LK sehr
2:42 wichtig ist im Grundkurs äh kommt das nicht vor deswegen schreibe ich mal hier LK damit die grundkursschüler keinen Schreck kriegen und zwar wenn wir
2:52 nelemente sortieren aber einige Elemente können mehrfach vorkommen und die sind äußerlich nicht unterscheidbar so dann macht man es wie folgt oben schreibt man
3:01 wieder in Fakultät also wirklich alle Elemente die wir haben das zum Fakultät und unten also die Formel sieht kompliziert aus als es ist unten soll
3:09 man einfach lediglich für jede Gruppe die Anzahl notieren zum Fakultät machen wir mal das Beispiel dann versteht ihr es etwas besser wir haben hier insgesamt
3:18 ze Dreiecke wie ihr seht das heißt im Zähler steht Zeh Fakultät so im Nenner schaue ich mir jetzt erstmal die roten Dreiecke an und dann gibt es zwei
3:30 Möglichkeit und dann mal vier blaue also vier Fakultät mal drei grüne also drei Fakultät mal ein orange hab es also ein Fakultät insgesamt hätten wir hier 12600
3:43 Möglichkeiten diese Dreiecke untereinander zu sortieren so jetzt kommen wir mal zu Stichproben also aus nelementen werden k
3:54 ausgewählt und hier ist es sehr wichtig ob jetzt mit Zurücklegen ist und mit Reihenfolge ist ohne Reihenfolge das wird jetzt alles Unterschieden wenn wir
4:02 mit zurücklegen und mit Reihenfolge haben machen wir n hoch K mit zurücklegen ohne Reihenfolge braucht ihr euch fürs Abi gar nicht anschauen das
4:10 werde ich später auch erklären in diesem Video aber das machen wir zuletzt das ist nicht abiturrevant n + K - 1 über K macht man da ohne Zurücklegen mit
4:20 Reihenfolge ist nfakultät geteilt durch in Klammern n- K Fakultät das wichtigste ist hier ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge das ist der bom Koeffizient
4:30 n über K n über K bedeutet die obere Zahl wird Fakultät gemacht und geteilt durch die untere Zahl zum Fakultät mal die Differenz aus den beiden zum
4:40 Fakultät so damit ihr diese Formeln besser versteht gehen wir die jetzt mal auf jeden einzelnen Fall mal genauer ein und machen auch Beispiele
4:49 dazu so erster Fall mit Zurücklegen mit Reihenfolge immer wenn Reihenfolge wichtig ist spricht man von Variation und wenn Reihenfolge unwichtig
4:59 ist ohne Reihenfolge spricht man von Kombination so Elin möchte einen Fahrradschloss mit vier Ziffern erstellen und zwar gibt es ja insgesamt
5:07 Z Ziffern das heißt ihr könnt es einmal so lösen dass ihr sagt für die erste Stelle hat sie Zeh Möglichkeiten für die Stelle auch z für die dritte auch 10 und
5:16 4 die vier auch 10 aber machen wir das mit der Formel das wäre dann 10 hoch 4 also n hoch K wir haben n= 10 Ziffern die wir haben und davon und das wird
5:27 viermal entnommen zurücklegen weil eine Ziffer noch mal vorkommen darf also hätte Elin insgesamt 10.000 Möglichkeiten für einen
5:40 fahrradcode so und dann der nächste Fall Lukas möchte ein Passwort aus acht Zeichen erstellt ihm stehen 26 Buchstaben und Z zuern Z Verfügung das
5:50 heißt für jede Stelle hat Lukas 36 Möglichkeiten für die erste Stelle für die zweite Stelle für die dritte Stelle und so weiter insgesamt hat 8 x 36
6:02 Möglichkeiten wir schreiben das mit der Formel wieder das wäre 36 hoch 8 und insgesamt hätte Luca in etwa 2,8 x 10 hoch 12 Möglichkeiten also etwa
6:16 2,8 Billionen so warum war das immer mit Zurücklegen weil alles was einmal verwendet wurde gerne noch mal verwendet
6:25 werden konnte also wenn Elin für ihr Fahrradschloss die äh Ziffer 5 verwendet kann sie bei der nächsten Stelle wieder die Ziffer 5 nehmen und für Lukas gilt
6:35 es genauso und warum ist die reinfolgewichtig und zwar wenn Elins Fahrradschloss den Code 4263 hat dann ist es eben nicht dasselbe
6:46 wie 2 4 3 6 das sind unterschiedliche Reihenfolgen und deswegen kann man das Schloss nicht knacken also hier geht es nicht nur
6:57 darum die vier richtigen Zahlen äh auszusuchen sondern sie auch in die richtige Reihenfolge zu bringen deswegen das ist mit Zurücklegen mit
7:06 Reihenfolge so dann gehen wir zu ohne zurücklegen und mit Reihenfolge weil wieder die Reihenfolge im Spiel ist spricht man davon Variation und gucken
7:14 wir uns mal die beispieler dazu an Leo will die ersten drei Bundesliga Teams von 18 in richtiger Reihenfolge erraten machen wir das wieder einmal ohne Formel
7:23 wie würden wir das machen für die erste Mannschaft hätte Leo 18 Möglichkeiten für die zweite hätte der 17 Möglichkeiten und für die dritte
7:31 hätte er 16 Möglichkeiten insgesamt mit der Formel wären das dann 18 Fakultät geeilt durch 15 Fakultät so wie komme ich auf die 15 im Nenner und zwar lautet
7:44 ja die Formel n Fakultät geeil dur n- K Fakultät also n ist ja 18 und K ist 3 das heißt man macht 18 - 3 also falls euch diese Technik mehr gefällt könnt
7:57 ihr das natürlich auch gerne so machen so das übrigens ergibt 4896 diesen Fall kann man auch in den Taschenrechner eingeben und zwar n npr K
8:11 wenn man das so in den taschrechner eingibt dann kommt man auf dasselbe Ergebnis also wenn ihr das mit dem taschrechner macht in diesem Fall hättet
8:20 ihr folgendes eingeben müssen 18 NPR 3 so das noch mal mit dem Taschenrechner dann die nächste Aufgabe ein Trainer will zum Meter Schießen fünf von
8:34 Spielern in exakter Reihenfolge der Schützen angeben dann machen wir das einmal wieder ohne Formel für den ersten schützen hätte der Trainer 11
8:40 Möglichkeiten für den zweiten 10 für den dritten ne für den vierten und für den letzten hätte er sieben Möglichkeiten mit der Formel wären wir bei 11 Fakultät
8:51 geeilt durch 6 Fakultät wie kommen wir auf die sech und zwar wollen wir ja n also 11- K also 5 machen das ergibt dann
9:06 55440 Möglichkeiten also der Trainer hätte insgesamt so viele Möglichkeiten wenn ihr das in den Taschenrechner eingeben wollt dann macht ihr 11 NPR
9:20 5 dem Taschenrechner so wieso war das alles ohne Zurücklegen weil hier beispielsweise eine Mannschaft die Leo als Mannschaft Nummer 1 gesucht hat
9:30 nicht gleichzeitig Zweiter werden kann also eine Mannschaft die erster ist kann ja nicht gleichzeitig zweiter oder dritter werden das heißt eine Mannschaft
9:36 die man einmal gezogen hat kann man nicht noch mal ziehen oder ein Spieler der beim Meter Schießen antritt kann nicht für den zweiten Meter auch noch
9:44 antreten wieso ist die Reihenfolge wichtig weil das in Text standand das ist manchmal so dass im Text dann steht dass man es in exakter Reihenfolge
9:54 will so ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge weil ohne Reihenfolge spricht man Kombination und schauen wir uns mal die Aufgaben dazu an wir haben
10:02 hier z Personen zwei davon sind Freunde ich betritt den Raum und möchte erraten welche zwei Freunde sind dann hat insgesamt ze über zwei
10:12 Möglichkeiten das richtig zu erraten also 55 Möglichkeiten auch hier noch mal wie man es in den Taschenrechner eingibt n über K gibt man so ein also n und dann
10:24 NCR K für diese Aufgabe hättet ihr dann folgendes eingeben müssen 10 NCR 2 die
10:35 ncr-taste ist meistens über dem detailzeichen in gelb hinterlegt so wie viele Möglichkeiten gibt es dafür beim Lotto 6 aus 49 Zahlen auszuwählen da
10:47 macht man 49 über 6 das ergibt dann 13 Millionen 983816 Möglichkeiten auch hier mit dem
11:01 Taschenrechner so gebt ihr das ein 49 NCR 6 so dann die letzte Aufgabe diesmal soll der Trainer lediglich die fünf
11:12 Schützen auswählen aber jetzt nicht sagen welcher Schütze wann drank kommmen soll dann hätte er ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge also 11 über fünf
11:21 Möglichkeiten und das wären dann 462 vollständigkeitshalbe auch hier mit dem Taschenrechner wie man es
11:35 macht so ja warum waren all diese Fälle ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge das kann ich noch mal ganz kurz erläuterern
11:45 und zwar ja ohne Zurücklegen hier beim Beispiel Ash wieso weil das sollen zwei Freunde sein eine Person kann dann nicht mit
11:54 sich selbst befreundet sein und ohne Reihenfolge weil es egal ist ob A mit B B befreundet ist oder B mit a auch hier beim Lotto das ist ohne zurückliegen
12:04 weil man kann nicht sechs Mal dieselbe Zahl ankreuzen man muss schon sechs unterschiedliche Zahlen ankreuzen und die Reihenfolge wie man die Zahlen
12:11 ankreuz ist egal wichtig ist nur dass man die sechs richtigen Zahlen eingibt und auch hier ein Spieler kann nicht mehrfach zum Meter Schießen
12:21 hintereinander antreten deswegen ohne zurückleen und auch die Reihenfolge ist egal fallil es diesmal im Text sttimmt so dann kommen wir zum letzten
12:29 Fall der nicht abiturrelevant ist der ist bisschen komplizierter wenn ihr zuhören möchtet könnt ihr das gerne tun und ja ich
12:37 erklärre es euch mal und ich versuche euch auch zu erklären wieso die Formel genaus so aussehen muss wie sie da aussieht und zwar haben wir hier
12:45 mit zurücklegen und ohne Reihenfolge das wir haben hier bei einer Aufgabe hier beim ersten Beispiel an an
12:53 der Straße gibt's drei Bäume sieben Vögel die man voneinander nicht unterscheiden kann verteilen sich auf die Bäume so das ist mit Zurücklegen
13:01 weil auf einen Baum kann noch ein Vogel dann landen und ohne Reihenfolge weil es uns egal ist welcher Vogel jetzt wo landet hier einmal ein Beispiel wie es
13:10 aussehen kann ich habe hier zwei Vögel hier auch zwei Vögel und hier drei Vögel so wie löse ich jetzt diese Aufgabe ich würde da euch empfehlen wie folgt
13:19 vorzugehen stellt euch die Vögel einfach als x vor als Kreuzchen 1 2 3 4 5 6 7 und ganz wichtig hier der Trick stellt euch zwischen den Bäumen trennwende vor
13:34 das heißt wenn wir drei Bäume haben hätten wir zwei trennwend die mache ich mal mit zwei Strichen so ihr könnt euch quasi das so vorstellen die sieben vügel
13:43 können hier sein oder in der Mitte sein oder am Ende sein hier geht's also einfach nur lediglich darum die sieben Kreuzchen und die zwei Wände zu
13:50 verteilen und weil wir bei dieser Aufgabe aus den neu Elementen die sieben Kreuze einfach nur verteilen lautet das insgesamt wie folgt wir
14:02 machen mal mit der Formel 3 + 7- 1 über 7 das heißt 9 über 7 also 36 es gibt also insgesamt 36 Möglichkeiten wie wir die sieben Vögel auf die drei Bäume
14:20 verteilen das nächste Beispiel wir haben h zwei billardwelle die man voneinander nicht unterscheiden kann und die soll man auf die sechs Löcher verte
14:29 so auch hier könnt ihr euch die bardbälle als x vorstellen oder als Kreise und wieder statt sechs Löscher schauen wir uns die fünf Trennwände an 1
14:40 2 3 4 5 das heißt die beiden Bälle könnten im ersten noch sein im zweiten dritten vierten 5 se noch also wir schauen hier auf die trennwende wir
14:51 haben also lediglich die Problemstellung unter diesen sieben Elementen die ihr seht die 2x zu verteilen das heißt mit der Formel einmal 6 + 2 - 1 über 2 also
15:06 7 über zwei also wir hten insgesamt 21 Möglichkeiten wie wir die beiden Bälle verteilen beispielsweise könnten beide Bälle hier sein oder ein Ball hier ein
15:17 Ball hier also wir haben insgesamt 21 Möglichkeiten dafür so ich hoffe dass ihr dieses äh komplexe Thema gut verstehen konntet mit vielen Übungen und
15:29 hier einem Überblick ihr könnt gerne das Video Teilen mit Leuten denen es helfen könnte und wir sehen uns schon im nächsten
15:38 Video