Monotonie, Krümmung bei Funktionen, Übersicht mit Ableitungsgraphen | Mathe by Daniel Jung
Mathe by Daniel Jung
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Transkript (automatisch erstellt)

0:03 Ja, ist wieder so ein faszinierendes Beispiel, wie ihr es euch relativ einfach machen könnt, weil ihr alles versteht und nachvollziehen könnt. Da
0:09 müsst ihr nicht so viel auswendig lernen. Also, ihr habt ja so ein so ein Funktionsgrafen. Die Gleichung ist eigentlich egal.
0:19 Ja, und das wäre dann f von x. Wir hätten also hier die x-Achse. Egal, wie die Gleichung lautet, ihr setzt x-Werte ein in die Funktion. Es
0:27 kommen y Werte raus. Könntet diese alle eben mit einer Wertetabelle abtragen und dann entsteht so dieser Funktionsverlauf. Und jetzt wisst ihr
0:37 ja, die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung M an. Und für die Monotonie ist es ja interessant, wo steigt der Graf und wo
0:47 fällt der Graf? Das heißt, hier geht der Graf ja ab nach oben. Offensichtlich wäre hier eine wagerechte Tangente, deshalb keine Steigung, also m = 0. Hier
0:57 geht der Graf ab nach unten, also negativ. Hier wir wieder wahrgerechte Tangente, also m = 0. Und hier geht's wieder hoch, also positiv. Jetzt könnte
1:07 ich auch eben dran schreiben positive Steigung, negative Steigung, positive Steigung. Und wenn man jetzt mal drüber nachdenkt, erste Ableitung gibt die
1:18 Steigung an. Das heißt, wenn hier die Steigung 0 ist an der Stelle, was weiß ich, ich sage jetzt mal einfach, das wäre 7 und das
1:29 wäre hier 2, also x = 2, x = 7. Wenn ich dann eben diese Stellen mir hier unten anschaue, dann weiß ich an dieser Stelle x = 7 und an der Stelle x = 2 ist die
1:42 Steigung 0. Deshalb Kreuzchen auf der X-Achse, weil wenn ich jetzt in die erste Ableitung diese Werte einsetze, muss ja null rauskommen, weil
1:51 die Steigung ja null ist. Deshalb setzt ihr ja auch die erste Ableitung gleich 0, um herauszufinden, wo ist denn eben die Steigung 0, bei welchen x-Weren,
2:03 um dann eben auch Bereiche anzugeben. Was ist vorher, was ist nachher und was ist hier vorher? Vorher ist die Steigung positiv.
2:12 Jetzt kommt's drauf an, wie steil der Graf ist. Je steiler der Graf ist, desto größer ist die Steigung. Ich mache jetzt nur mal ein Schätzwert, also so ungefähr
2:19 irgendwo im Positiven mache ich jetzt ein Kreuzchen. Hier zwischen geht der Graf ab nach unten. Und da kann man so relativ gut nachvollziehen. Hier ist die
2:29 Steigung negativ, aber nicht ganz so stark. Dann wird sie immer stärker, bis sie irgendwann hier am stärksten
2:37 wohl ist nach unten. Und dann ist zwar die Steigung immer noch negativ, aber sie kommt immer so mehr wieder in Richtung null. Das heißt wieder ab nach
2:45 oben, bis sie hier wieder null ist und dann haben wir wieder eine positive Steigung. Jetzt habt ihr hier schon so die Entwicklung vom Ableitungsgraf.
2:54 So. Und seht dann hier vielleicht auch schon wieder so den nächsten Zusammenhang. Hier ist wieder irgendetwas markantes,
3:02 nämlich von der ersten Ableitung ist das offensichtlich irgendwie so der tiefste Punkt. Jetzt könnte man schon wieder einen Schritt weitergehen und könnte
3:09 sagen, was ist denn die zweite Ableitung? Das ist ja nichts anderes als von der ersten Ableitung wiederum die erste Ableitung, die gibt hier also die
3:19 Steigung von dem Grafen an. Na ja, und da ist hier wieder die Steigung dann von dem Grafen selber 0. Hier ist sie positiv, Kreuzchen oben, hier ist sie
3:30 negativ, Kreuzchen unten. Dann könnte ich mir mal so aus der Hand den Ableitungsgraf von F2 Strich basteln. Jetzt sieht man schon wieder, hier ist
3:38 schon wieder eine Nullstelle, aber von F2 Strich. Und warum setzt ihr die zweite Ableitung gleich 0? Das war diese markante Stelle. Wenn ich jetzt
3:47 zurückgehe, da ist offensichtlich da hockt irgendwie so der Wendepunkt bestehend aus X und Y Wert. hier also geschätzterweise, was weiß ich, x = 5,5
3:59 sage ich jetzt mal. Offensichtlich bei x = 5,5 ich den wird in die zweite Ableitung einsetzen würde, kommt null raus. Das würde heißen, aha, bei der
4:10 Stelle ist offensichtlich dieser Krümmungswechsel. Und so hat man den Gesamtzusammenhang mal und kann sich hinterher dann auch
4:18 noch überlegen, wenn es jetzt um Hoch und Tiefpunkt und Wendepunkte geht, ob man das man die Monotonie oder Krümmungstabelle macht, ist ja auch ein
4:25 einzelnes Video, oder ob ihr das mit der Überprüfung in der nächsten Ableitung dann macht. Wenn man sich das so im Gesamtkonstrukt anguckt, dann ist es
4:33 eigentlich relativ easy. Wenn man das nachvollziehen kann, kommt ihr da eigentlich flott durch. Also hier wollte ich jetzt speziell für Monotonie und
4:41 Krümmung noch mal drauf zu sprechen kommen. Monotonie, wo steigt und fällt der Graf? Deshalb suche ich die markanten Stellen. Wo ist m = 0? Das
4:50 wäre die erste Ableitung gleich 0 gesetzt. Dann hätte ich da die Nullstellen. Und wo ist der Krümmungswechsel von
4:57 hier? Rechtskrümmung nach Linkskrümmung. Das ist offensichtlich bei diesem markanten Punkt im Wendepunkt. Wie komme ich an den X-Wert? Dafür muss ich eben
5:06 entsprechend, wenn ich so runterpapsel, nicht zur ersten Ableitung, sondern dann zur zweiten Ableitung gehen und da die Nullstelle suchen. Und da dürft ihr euch
5:16 nicht ein bisschen schief, sehe ich gerade, soll euch aber nicht stören, da dürft ihr euch nicht durcheinander bringen lassen. Da kann man eben auch
5:22 mal davon sprechen, dass hier der erste Ableitungsgraf wiederum seinen tiefsten oder höchsten Punkt hat. Ja, das wäre so der Zusammenhang dafür.