09 Bestimmung der Schnittgeraden zweier Ebenen in Koordinatenform
einfachMathe
https://www.youtube.com/watch?v=-TwGXRG2SAA

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 wir kommen nun zu einer Problemstellung oder Aufgabenstellung die in vielen Kursen die die analytische Geometrie durchgehen so ja das Finale ist bevor es
0:10 dann darum geht da komplexe Aufgaben zu betrachten Aufgaben zur Abiturvorbereitung und so weiter nämlich wir kommen dazu dass man die
0:18 gegenseitige Lage von zwei Ebenen bestimmen soll wobei die beiden Ebenen in Koordinatengleichung vorgegeben sind da
0:27 sollten wir uns erstmal überlegen was für Fälle da eintreten können ja drei verschiedene deswegen habe ich hier schon mal dreimal diese gelbe Ebene
0:35 vorbereitet der erste Fall der hier am einfachsten zu zeichnen ist das ist der dass da die beiden Ebenen parallel im Raum liegen also exakt die gleiche
0:48 Neigung sozusagen haben aber eben nicht identisch sind der zweite Fall das ist dann der dass die beiden in der Tat identisch sind wir haben da einfach nur
0:58 zwei Koordinatengleichung gegeben die aber ein und dieselbe Ebene beschreiben und der letzte Fall das ist der und der auch hier am schwierigsten
1:09 zu zeichnen ist das ist eben der dass die beiden Ebenen sich schneiden die sind eben nicht parallel die sind nicht parallel die
1:22 haben unterschiedliche ja Neigungen so im Raum sage ich jetzt mal und was dann passiert ist dass da sowas wie eine Schnittkante entsteht
1:32 kann man sich vorstellen in wit ist es dann eine schnittgade wo die beiden Ebenen da gerade so aufeinander treffen sozusagen ich versuch das hier mal so
1:42 ein bisschen zu skizzieren und irgendwo wird es dann zwischen den beiden Ebenen eben genau hier so eine Gerade geben an
1:52 der die so durcheinander durchstoßen sozusagen kann man sich vorstellen wieo der Zimmerboden der Fußboden und hier so eine Wand und irgendwo stoßen die
2:04 aneinander und da hat man dann so eine Kante und das heißt dann halt eben das ist dann eben hier diese schnittgrade die sich da ergibt und wenn man jetzt
2:14 herausfinden will welcher von den Fällen davorliegt dann ist wieder enorm hilfreich dass man sich klar macht was denn hier so ein normalen Vektor für
2:25 eine Bedeutung hat wenn man da mal erstmal bei dieser gelben Ebene sich so ein möglichen normalen Vektor einzeichnet ne der eben hier
2:34 orthogonal auf der Ebene steht und sich dann überlegt wie der im Vergleich voll aussieht zu einem normalen Vektor von dieser ja hellblauen oder türkisen Ebene
2:46 hier dann ist es doch so dass wir hier in diesen beiden Fällen da sehen dass diese normalen Vektoren parallel sein müssen also in den beiden
2:59 Fällen wo die Ebenen sozusagen gleich geneigt sind also wo die Ebenen entweder parallel sind oder in der W in Wahrheit sogar identisch sind da müssen die
3:08 normalen Vektoren eben parallel sein die haben gar keine andere Wahl als dass die entweder da genau in die gleiche Richtung zeigen oder vom Mirus halt hier
3:16 unten so genau in die entgegengesetzte Richtung ne dass da halt hier so nach unten zeigt aber trotzdem immer noch
3:25 parallel hier zu dem normalen Vektor von der gelben Ebene und hier diesem Fall wo die sich tatsächlich schneiden da sind die beiden normalen Vektoren nicht
3:36 parallel und da zeigen die irgendwie in so unterschiedliche Richtungen und dann gucken wir uns hier ein erstes konkretes Beispiel mal
3:46 an ja vielleicht werft ihr da einfach mal einen Moment einen Blick drauf hier auf diese beiden Koordinatengleichung von diesen beiden Ebenen und überlegt
3:55 mal wie die beiden wohl hier im Raum zueinander liegen und vielleicht seht ihr
4:02 es das ist in Wahrheit beides ein und dieselbe Ebene warum na ja hier die Koordinatengleichung die wurde einfach genommen und mit Z
4:15 multipliziert und das war's dann auch schon ne das bedeutet die beiden Gleichungen sind äquivalent zueinander übrigens was man da auch noch sieht ist
4:25 hier steckt ja der normalen Vektor 1 3-1 zenter und hier 26-2 also die normalen Vektoren die hier hinter stecken die sind natürlich dann
4:36 in der Tat parallel zueinander so wie das eben in der Vorüberlegung auch der Fall war und hier sind in dem Fall die normalenektoren
4:45 sind parallel zueinander und die Ebenen sind in der Tat identisch wir ändern das Beispiel ein
4:53 wenig ab jetzt haben wir ganz rechts diese drei stehen ja was bedeutet das jetzt also das bedeutet einerseits dass die beiden Ebenen immer noch parallel
5:05 sind immer noch die gleiche Neigung haben das sieht man daran dass hier die linken Seiten immer noch so vielfache voneinander
5:14 sind ne denn das heißt eben dass hier der normalen Vektor der halt hier hinter steckt also ich schreib einmal konkret auf den normalen
5:28 Vektor lautet hier 1 3 -1 hier drüben lautet der Normalenvektor 26 - 2 das sind eben immer noch vielfache
5:44 voneinander dadch sind die Ebenen immer noch parallel aber jetzt ist es so dass hier die rechten Seiten nicht zueinander passen ne denn wenn das hier verdoppelt
5:55 wird dann müsste eigentlich auch hier rechts das da verdoppelt werden aber das ist jetzt nicht der Fall ne da müsste eben eigentlich eine vier stehen dann
6:05 wäre wieder das hier eben dieselbe Ebene wie wir das eben hatten genau das tritt jetzt nicht ein und deswegen haben wir jetzt hier den Fall das sind parallele
6:15 Ebenen die sich eben nicht berühren kommen wir zum dritten Fall hier ist es jetzt so dass auch die linken Seiten keine vielfachen
6:26 voneinander sind bedeutet dann dass die normalen Vektoren die hier hinter stecken eben auch keine vielfachen voneinander sind damit sind die nicht
6:35 parallel damit können eben hier diese beiden Ebenen jetzt nicht parallel zueinander sein bedeutet da muss eine schnittgrade vorhanden
6:47 sein ja und um herauszufinden wie diese Schnitt gerade aussieht muss man sich eben bewusst machen dass die gerade eben dadurch bestimmt wird dass eben genau
6:58 diese beiden Bedingungen hier erfüllt sein müssen das heißt wenn Punkt auf dieser Geraden drauf liegen möchte dann musste einerseits hier die Bedingung
7:08 erfüllen die wir von der Links haben und der muss diese Bedingung erfüllen X1 + 2x2 + X3 =
7:20 1 sieht ein bisschen komisch aus aber in der Tat ist das hier jetzt eine Beschreibung von einer graden aber das können wir uns natürlich
7:30 ein bisschen ja anschaulicher darstellen lassen bisschen anschaulicher umformen und zwar können wir da einmal rüber zum Rechner
7:38 wechseln hier habe ich einfach mal diese beiden Bedingungen die erfüllt werden müssen im solve Befehl angegeben mit einem n verbunden es müssen ja beide
7:47 Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein ne das ganze soll dann nach x1 x2 X3 aufgelöst werden dahält man hier sowas also x3 ist einfach so ein Parameter in
8:01 dem Fall C3 aber kann halt kennt ihr ja irgendein anderer Wert für C s irgende anderes C ne also X3 ist einfach Parameter X2 ist dann zweimal dieser
8:11 Parameter + 1 und X1 na ja das ist hier -5 mal der Parameter und dann Vorsicht WN man das Minus da reinzieht dann noch -1 das halte ich mal auf dem Papier
8:26 fest ich habe es hier schon mal notiert also x 3 das ist so ein Parameter habe ich mal K genannt X2 ist dann 2K + 1 X1 ist -5k
8:37 -1 und das möchte ich jetzt mal ein bisschen umschreiben und zwar schreibe ich hier mal x1 x2 X3 als so ein Vektor also diese linke Seite und wie muss dann
8:49 die rechte Seite aussehen folgendermaßen da haben wir hier oben -1- 5k hat ein Grund warum ich das hier schon mal so
9:03 umsortiere 1 + 2K und da unten einfach K und das kann ich dann noch mal umschreiben und zwar kann ich dann
9:16 schreiben hier na dieses x1 x2 X3 nenne ich einfach mal Vektor x
9:24 g=ich einerseits hier so ein Vektor wo -1 1 und 0 steht also hier kann ich in Gedanken 0 + K
9:34 ergänzen plus hier hinten so ein Vektor der hier das darstellt wo die ganzen KS vorkommen sprich hier -5 + 2 plus hier unten noch 1
9:50 K tja große Quizfrage was haben wir da jetzt ja da haben wir eine Parameterdarstellung von einer Geraden gefunden ne und natürlich hier die
10:01 Parameterdarstellung genau von dieser schnittgraden von den beiden Ebenen denn nach unserer Konstruktion ist es so jeder Punkt der auf dieser Geraden liegt
10:09 der sich eben hier so darstellen lässt der muss eben beide Bedingungen erfüllen der muss eben sowohl hier diese Gleichung von der Ebene E1 als auch die
10:19 von der Ebene E2 erfüllen und liegt demnach dann eben auf beiden Ebenen und deswegen musste eben hier auch dieser schnittgraden liegen noch eine kleine
10:30 zusatzbemerkung für die interessierten sozusagen man kann hier noch mal ein Kontrollblick drauf werfen man kann einerseits gucken hier was ist mit dem
10:38 stützvektor der Punkt der durch den beschrieben wird der muss natürlich auch auf den beiden Ebenen liegen das heißt man kann dann einmal diese Koordinaten
10:46 da einsetzen und testen ob das dann bei beiden hier hinhaut also z.B hier -1 + 3 ist 2-0 ist immer noch Z wunderbar Haut hin und hier drüben dann genauso und
11:02 weil diese gerade ja innerhalb der beiden Ebenen verlaufen muss also z.B innerhalb der Ebene E1 verlaufen muss muss hier der richtungsktor orthogonal
11:12 sein zu dem Richtung zu dem normalen Vektor hier von der Ebene E1 das kann man mal kontrollieren und na die gerade läuft ja auch innerhalb der Ebene E2
11:23 deswegen muss dann hier der Richtungsvektor auch orthogonal sein zu dem normalen Vektor hier die hier bei der Ebene E2 verwendet wurde ja das noch
11:32 so als kleine zusatzbemerkung für die engagierten da hat man noch mal so eine Kontrollmöglichkeit ansonsten hoffe ich dass ihr hiermit jetzt ja gut gewappnet
11:44 seid wenn ihr mal die gegenseitige Lage von so zwei Ebenen bestimmen müsst